Будем считать, что стержни растянуты, то есть реакция стержня на узел направлена от узла.

Если объект изучения – узел А, имеем такую схему сил (рис. 7.6).

Рисунок 7.6

Дано: УА = 60 кН, ХА = 20 кН;. Определить R1, R2. . Решаем эти уравнения относительно R1 и R2. , .

Полученные знаки в ответах свидетельствуют о том, что направление R₂ выбрано верно, стержень 2 – растянут; направление R₁ выбрано неверно, стержень 1 – сжат.

Проверку выполним, применив геометрическую форму условий равновесия сходящейся плоской системы сил. Выберем масштаб и начнем строить силовой четырехугольник (т. к. четыре силы действуют на свободный узел А) из точки О, отложив известную силу, например ( рис. 7.7 а). Потом в конец силы прикладываем силу . Через конец проведем линию действия силы , а из начала силы линию действия силы (I вариант).

а	б Рисунок 7.7	в

Можно второй вариант: из точки О построить (рис. 7.7 б), в ее конец приложить , через конец силы провести линию параллельную линии действия силы , а из начала силы линию параллельную силе . Есть еще третий вариант: из точки О построить силу , в конце построить силу , потом провести линию параллельную силе , а с начала силы линию, параллельную силе (рис. 7.7 в).

Измеряя длины векторов, которые изображают силы и , получаем их величины: длина = 2 см, то есть = 40 кН, длина = 4,23 см, то есть

= 84,6 кН (потому что масштаб ).

Направления векторов и в силовых многоугольниках совпали с ответами, которые мы получили аналитическим способом: стержень 1 – сжат (знак «–» в ответе, стержень 2 – растянут, знак «+» в ответе).

Следующим будет узел С, потому что реакцию стержня 1 мы уже знаем, а реакции и – две неизвестные. Принимая во внимание то, что стержень 1 - сжат будем на рис. 7.8 а показывать реакцию направленную к узлу С. Опять составляем уравнения равновесия сходящейся плоской системы сил, действующих на узел С.

Дано: . Найти и .

а б

Рисунок 7.8

Строим в выбранном раньше масштабе силовой треугольник, начиная с известной силы , с конца ее проводим линию параллельную, например, силе , а из начала вектора – линию параллельную (рис. 7.8 б). Стрелки в силовом треугольнике в одном направлении (как будто вода по трубе течет). Имеем: стержень 4 – сжат, стержень 3 – растянут. Длина поэтому величины R₃ = R₄ = 60 кН. Ответы совпали с результатом аналитического решения.

После этого можно рассмотреть равновесие какого узла? D – невозможно, потому что три неизвестных реакции , а к узлу Е приложены две известные реакции , и две неизвестные – .

Схема сил, с учетом знаков , которые действуют на узел Е, изображена на рисунке 7.9.

Дано: = 60 кН; = 40 кН; Р1= 20 кН. Найти: R5, R6.   Опять составляем два уравнения равновесия и строим силовой пятиугольник, начиная с известной силы (можно с , или с , или с ). Масштаб тот же. После узла Е можно рассматривать узел F, или узел D. Узел В будет проверочным, потому что все усилия уже известны.

Рисунок 7.9

Таким образом, рассмотрев равновесие всех k узлов (шести в этом примере), составим 2k уравнений равновесия, из которых можно получить 2k неизвестных. Последний узел будет проверкой, т. к. все величины реакций стержней уже найдены.

3) Определение усилий в стержнях методом Риттера

Метод Риттера заключается в том, что ферму условно перерезают на две части по тем стержням, усилия в которых надо определить. Из-за того, что система сил, которые действуют на каждую часть фермы, – плоская произвольная, можно составлять три уравнения равновесия в форме (5.5) или (5.6), или (5.7), а значит, можно найти три неизвестные реакции стержней. То есть, рассекать (перерезать) ферму можно в том месте, где будет три стержня, потому что неизвестных должно быть не больше трех.

Для рассматриваемого примера первый разрез І–І можно сделать по стержням 4, 5, 6 (рис. 7.4). Потом левую (или правую) часть фермы «отбросить» и рассматривать равновесие правой (или левой) части. Опять считаем, что стержни растянуты, потому реакции стержней 4, 5, 6 направляем от узлов (рис. 7.10).

Имеем: Дано Р₂ = 20 кН; R_B = 20 кН. Определить R₄, R₅, R₆.

Составляем уравнения равновесия. Для того, чтобы в каждом уравнении была одна неизвестная величина, чаще всего составляют уравнения с помощью формул (5.6) или (5.7).

Рисунок 7.10

Центрами моментов в уравнениях равновесия выбираем точки пересечения неизвестных (точка D и точка Е).

Силы параллельны, потому нет точки их пересечения. Составляем уравнение проекций сил на ось, перпендикулярную этим векторам.

Способом Риттера можно определить усилия в стержнях 6, 7, 9; выполнив разрез ІІ–ІІ по этим стержням (рис. 7.4). «Отбросим» верхнюю часть, рассмотрим равновесие нижней части, а именно стержня FB фермы (рис. 7.11).

Дано: R_B=20 кН. Определить R₆, R₇, R₉.

Составим уравнения равновесия в форме трех моментов (формула (5.6)). За центры моментов берем точки пересечения неизвестных – точки D, F и B.

После того, как усилия в стержнях найдены двумя способами, убедимся, что ответы совпадают. Ответы усилий в стержнях заносятся в таблицу с указанием знаков «+» – стержень растянут, а «–» – стержень сжат.

Выводы:

1. Способом Риттера удается определить реакцию стержня избирательно, независимо от усилий в других стержнях.

2. В способе вырезания узлов после того, как усилия в стержнях найдены с помощью аналитических уравнений, делается проверка путем построения силовых многоугольников.

3. Если в узле сходятся три стержня, из которых два расположены по одной прямой, и на этот узел не действует внешняя сила, то усилие в третьем стержне равняется нулю (стержень № 7 в рассмотренном примере).

4. Если в ненагруженном узле сходятся два стержня, то усилия в этих стержнях равны нулю.

Вопросы для самоконтроля по теме 7

1. Какие конструкции называют фермами?

2. Какая зависимость существует между количеством стержней и количеством узлов фермы?

3. Какие допущения принимаются для фермы относительно стержней?

4. Какая последовательность действий при определении реакций связей фермы?

5. Какая последовательность действий в способе вырезания узлов при определении усилий в стержнях?

6. Какая последовательность действий в способе Риттера? В чем целесообразность этого метода определения усилий в стержнях?

Тема 8. ТРЕНИЕ

По кинематическим признакам различают трение скольжения (пример - трение подошв человека о землю) и трение качения (пример - колесо вагона по рельсам). Исследованием этого важного явления занимались Леонардо да Винчи, французские физики Амонтон и Кулон [1, 2].

Законы Кулона

Шарль Кулон в 1781 г. установил основные законы для сухого трения при покое. Данные законы справедливы, когда поверхности тел не вдавливаются друг в друга и их шероховатость не очень большая. Данные законы легко установить с помощью эксперимента, который можно выполнить на приборе, который называется «Трибометром» (рис. 8.1).

Рисунок 8.1

Если к телу 1, что находится на шероховатой поверхности, приложить горизонтальную силу , то действие этой силы вызовет появление силы сцепления , которая не дает телу 1 двигаться. Есть возможность увеличивать силу , добавляя гирьки на платформе 2. Тело 1 будет оставаться в покое, пока модуль силы не достигнет значения .То есть получим, что сила меняется от нуля до .

Первый закон.

Сила трения скольжения находится в общей касательной плоскости контактирующих поверхностей и направлена противоположно возможному движению тела под действием активных сил. Сила трения зависит от активных сил и ее модуль находится между нулем и максимальным значением, которое достигается в момент выхода тела из положения равновесия, то есть . (8.1)

Второй закон.

Из данного закона выплывает, что для того, чтобы сдвинуть, например, кирпич, надо приложить одну и ту же силу независимо от того, какой гранью ее положить, широкой или узкой.

Третий закон.

, (8.2)

где безразмерный коэффициент f называют коэффициентом трения скольжения.

Четвертый закон.

В таблице 8.1 приведены коэффициенты трения скольжения для некоторых материалов.

Таблица 8.1 – Коэффициент трения скольжения для некоторых материалов

Пятый закон.

Для большинства материалов эта зависимость изображена на рис. 8.2, из которой видно, чтокоэффициент трения при движении меньше коэффициента статического трения f _с.Считают, что коэффициент трения скольжения равняется0,9 fстатического.

Рисунок. 8.2