Определение координат центра тяжести тела

На все части тела, расположенные в области притяжения Земли, действуют силы притяжения к Земле. Эти силы называют силами притяжения, или силами тяжести. Размеры реальных тел намного меньше радиуса Земли. Поэтому можно считать, что силы земного притяжения, которые действуют на элементарные части тела, с достаточно большой точностью образуют систему параллельных сил.

Следовательно, сила тяжести тела равна и приложена в центре параллельных сил тяжестей частей тела – центре тяжести тела. На рисунке 10.3 центр тяжести обозначен буквой С.

Рисунок 10.3

Координаты точки С можно найти по формулам (10.8), где Pi – вес отдельной части тела, а x_i,, y_i, z_i – координаты этой точки приложения силы .

Для тел, вес которых распределен непрерывно по его объему, знак суммы можно заменить интегралом и формулы (10.8) приобретают вид

(10.9)

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Однородное объемное тело. Если удельный вес тела постоянная величина, j = const, тогда

(10.10)

где Vi – объем части тела;

V – объем всего тела.

Подставим формулу (10.10) в формулу (10.8). После сокращения на j, имеем

(10.11)

или, с учетом формулы (10.9),

(10.12)

2. Однородное плоское тело. Пусть однородное плоское тело расположено в плоскости Оxy (рис. 10.4): j – вес единицы площади тела; S_i – площадь элементарной его части; S – площадь всего тела.

Рисунок 10.4

Тогда , (10.13) Подставив (10.13) в формулы (10.8) и (10.9), имеем формулы для определения координат центра тяжести однородного плоского тела (пластины) (10.14)   (10.15)

3. Однородное линейное тело (провод, стержневая конструкция, рис. 10.5).

Рисунок 10.5

Обозначим j – вес единицы длины однородного линейного тела. Тогда его вес и вес его элементарной части определяются формулами (10.16) где L – длина тела; li –- длина i-го элемента. Подставив формулу (10.16) в формулы (10.8) и (10.9), имеем (10.17)

или (10.18)