Всякое уравнение второй степени с тремя неизвестными определяет эллипсоид, гиперболоид, параболоид, конус, цилиндр или две плоскости

Поверхность второго порядка в пространстве задаётся следующим общим уравнением:

Общее уравнение поверхности второго порядка (1), заданное относительно ДПСК (как было установлено ранее) выражает одну из 17 поверхностей.

Теорема 1. В таблице 1 даны необходимые и достаточные признаки каждого из 17 классов поверхностей второго порядка.

Таблица 1

№	Название Поверхности	Признак поверхности
	Эллипсоид	, , , .
	Мн. эллипсоид	, , , .
	Мнимый конус	, , , .
	Однопол. гиперб.	, , и, или , или .
	Двупол. гиперб.	, , и, или , или .
	Конус 2-го поряд	, , и, или , или .
	Эллипт. парабол.	, .
	Гиперб. парабол.	, .
	Эллипт. цилиндр	, , , .
	Мн. Элл. цилинд.	, , , .
	2 мн. пер. плоск.	, , , .
	Гиперб. цилиндр	, , , .
	2 пересек. плоск.	, , , .
	Парабол. цилинд.	, , , .
	2 паралл. плоск.	, , , . .
	2 мн. пар. плоск.	, , , . .
	2 совпад. плоск.	, , , . .

Доказательство необходимости. Ранее было дока-зано, что если относительно ДПСК поверхность второго порядка задана общим уравнением (1), то преобразованием данной системы координат в другую, тоже Декартовую прямоугольную систему, общее уравнение (1) может быть преобразовано к одному из следующих 5 простейших видов:

I. , если ;

II. , если ; ;

III. , если ; ;

IV. , если ; ; ; ;

V. , если ; ; ; ; .

Во всех этих уравнениях - отличные от нуля корни характеристического уравнения, а инварианты и вычисляются по ранее указанным формулам.

1. Если уравнение (I) является уравнением эллипсоида, то числа , и одного знака, а число имеет знак, им противоположный. Но т.к. , то , и далее, , .

2. Если уравнение (I) является уравнением мнимого эллипсоида, то все числа , , и одного знака. Т.к. , то . Соотношения и доказываются также, как в пункте 1.

3. Если уравнение (I) является уравнением мнимого конуса, то , , оного знака, а , откуда . А неравенства и доказываются также, как в пункте 1.

4. Если уравнение (I) является уравнением однополостного гиперболоида, то из чисел , , , два положительны, а два отрицательны; если, например, , , , , то , ; и, если например , то имеет знак, противоположный знаку . Докажем, что . (тогда ). В самом деле, если бы мы имели , то , , и вопреки предположению. Тот же результат ( , или или ) получим, предположив, что , , , .

5. Если уравнение (I) является уравнением двуполостного гиперболоида, то два из корней , , имеют одинаковый знак с , а третий корень - знак, им противоположный. Пусть, например, , , , . Тогда ; , а то, что или , или доказывается также, как в пункте 4.

6. Если уравнение (I) является уравнением конуса второго порядка, то , откуда , , и, далее, два из корней , , имеют одинаковый знак, а третий корень - знак, им противоположный. Отсюда, как и в случае 4, доказывается, что или , или .

Перейдём к исследованию поверхностей второго порядка II группы.

7. Если уравнение II является уравнением эллиптического параболоида, то , и в уравнении II - числа одного знака, а это значит, что и из уравнения II следует, что (число под радикалом в уравнении II положительно).

8. Если же уравнение II является уравнением гиперболического параболоида, то , и в уравнении II - числа разных знаков, а это значит, что и из условия находим: .

Рассмотрение остальных случаев по существу не отличается от выше доказанных.

Достаточность всех признаков доказывается методом от противного т.к. эти признаки взаимно исключают друг друга.

Результаты всех исследований помещены в табл. 3.