Всякое уравнение второй степени с тремя неизвестными определяет эллипсоид, гиперболоид, параболоид, конус, цилиндр или две плоскости
Поверхность второго порядка в пространстве задаётся следующим общим уравнением:
Общее уравнение поверхности второго порядка (1), заданное относительно ДПСК (как было установлено ранее) выражает одну из 17 поверхностей.
Теорема 1. В таблице 1 даны необходимые и достаточные признаки каждого из 17 классов поверхностей второго порядка.
Таблица 1
№ | Название Поверхности | Признак поверхности |
Эллипсоид | ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Мн. эллипсоид | ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Мнимый конус | ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Однопол. гиперб. | ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Двупол. гиперб. | ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Конус 2-го поряд | ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Эллипт. парабол. | ![]() ![]() | |
Гиперб. парабол. | ![]() ![]() | |
Эллипт. цилиндр | ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Мн. Элл. цилинд. | ![]() ![]() ![]() ![]() | |
2 мн. пер. плоск. | ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Гиперб. цилиндр | ![]() ![]() ![]() ![]() | |
2 пересек. плоск. | ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Парабол. цилинд. | ![]() ![]() ![]() ![]() | |
2 паралл. плоск. | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
2 мн. пар. плоск. | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
2 совпад. плоск. | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Доказательство необходимости. Ранее было дока-зано, что если относительно ДПСК поверхность второго порядка задана общим уравнением (1), то преобразованием данной системы координат в другую, тоже Декартовую прямоугольную систему, общее уравнение (1) может быть преобразовано к одному из следующих 5 простейших видов:
I. , если
;
II. , если
;
;
III. , если
;
;
IV. , если
;
;
;
;
V. , если
;
;
;
;
.
Во всех этих уравнениях - отличные от нуля корни характеристического уравнения, а инварианты
и
вычисляются по ранее указанным формулам.
1. Если уравнение (I) является уравнением эллипсоида, то числа ,
и
одного знака, а число
имеет знак, им противоположный. Но т.к.
, то
, и далее,
,
.
2. Если уравнение (I) является уравнением мнимого эллипсоида, то все числа ,
,
и
одного знака. Т.к.
, то
. Соотношения
и
доказываются также, как в пункте 1.
3. Если уравнение (I) является уравнением мнимого конуса, то ,
,
оного знака, а
, откуда
. А неравенства
и
доказываются также, как в пункте 1.
4. Если уравнение (I) является уравнением однополостного гиперболоида, то из чисел ,
,
,
два положительны, а два отрицательны; если, например,
,
,
,
, то
,
; и, если например
, то
имеет знак, противоположный знаку
. Докажем, что
. (тогда
). В самом деле, если бы мы имели
, то
,
,
и
вопреки предположению. Тот же результат (
,
или
или
) получим, предположив, что
,
,
,
.
5. Если уравнение (I) является уравнением двуполостного гиперболоида, то два из корней ,
,
имеют одинаковый знак с
, а третий корень - знак, им противоположный. Пусть, например,
,
,
,
. Тогда
;
, а то, что или
, или
доказывается также, как в пункте 4.
6. Если уравнение (I) является уравнением конуса второго порядка, то , откуда
,
, и, далее, два из корней
,
,
имеют одинаковый знак, а третий корень - знак, им противоположный. Отсюда, как и в случае 4, доказывается, что или
, или
.
Перейдём к исследованию поверхностей второго порядка II группы.
7. Если уравнение II является уравнением эллиптического параболоида, то , и
в уравнении II - числа одного знака, а это значит, что
и из уравнения II следует, что
(число
под радикалом в уравнении II положительно).
8. Если же уравнение II является уравнением гиперболического параболоида, то , и
в уравнении II - числа разных знаков, а это значит, что
и из условия
находим:
.
Рассмотрение остальных случаев по существу не отличается от выше доказанных.
Достаточность всех признаков доказывается методом от противного т.к. эти признаки взаимно исключают друг друга.
Результаты всех исследований помещены в табл. 3.
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Организационные структуры государственной системы обеспечения информационной безопасности федеральных органов исполнительной власти | | | Корпоративная нормативная база по защите информации |
Дата добавления: 2016-04-14; просмотров: 756;