Интервальные оценки. Доверительный интервал.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра а. Ясно, что тем точнее определяет параметр а, чем меньше абсолютная величина разности . Другими словами, если и , то чем меньше , тем оценка точнее. Таким образом, положительное число характеризует точность оценки.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству .Можно лишь говорить о вероятности j, с которой это неравенство осуществляется.

Доверительной вероятностью (надежностью) оценки а по называют вероятность j, с которой осуществляется неравенство

Доверительным называют интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной доверительной вероятностью.

Доверительные интервалы для оценки МОЖ нормального распределения при известной .

Пусть ; .

Попробуем чтобы вероятность

Пользуясь формулой (лекция 3 вопрос 4)

Заменив через и через , получим , где .

Найдя из последнего равенства , можем написать

Смысл полученного соотношения таков: с надежностью j можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр а; точность оценки .

Если требуется оценить МОЖ с наперед заданной точностью S и надежностью j, то минимальный объем выборки, который обеспечит эту точность находят по формуле (следствие равенства ).

Доверительные интервалы для оценки МОЖ нормального распределения при неизвестной .

По таблице по заданным и находим .

Для распределения Стьюдента.

S - исправления СКО; n – объем выборки.

При вместо распределения Стьюдента можно пользоваться нормальным распределением.

Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения

S - исправленное СКО; q – находим по таблице

Тема 7. Элементы теории корреляции.