ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ

1. Пусть известно, что сл. величина x подчиняется нормальному закону с неизвестным средним μ и известной σ² : X~N(μ,σ²), σ² задано, μ не известно. Задано β. По выборке x_1, x_{2, … ,} x_n надо построить I_β (θ) (сейчас θ=μ), удовлетворяющий (13)

Выборочное среднее (говорят также выборочная средняя) подчиняется нормальному закону с тем же центром μ, но меньшей дисперсией X~N (μ , D ), где дисперсией D =σ² =σ²/n.

Нам понадобится число К_β , определяемое для ξ~N(0,1) условием

Словами: между точками -К_β и К_β оси абсцисс лежит площадь под кривой плотности стандартного нормального закона, равная β

Например, К_0,90 =1,645 квантиль уровня 0,95 величины ξ

K_0,95 ⁼ 1,96. ; К_0,997=3 .

В частности, отложив от центра любого нормального закона 1,96 стандартных отклонений вправо и столько же влево, мы захватим площадь под кривой плотности, равную 0.95, в силу чего К_{0 95} является квантилью уровня 0,95 + 1/2*0,005 = 0,975 для этого за­кона.

Искомый доверительный интервал для генерального среднего μ есть I_А(μ) = (х-σ, х+σ),

где δ = (15)

Дадим обоснование:

По сказанному, сл. величина в интервал J=μ±σ попадает с вероятностью β (рис.9). В этом случае величина отклоняется от центра μ меньше, чем на δ , и случайный интервал ± δ (со случайным центром и такой же как у J ширины) накроет точку μ. То есть Є J <=> μ Є I_β , а потому Р{μЄІ_β} = Р{ Є J }=β.

Итак, постоянный по выборке интервал I_β содержит среднее μ с вероятностью β.

Ясно, чем больше n, тем меньше σ и уже интервал, а чем больше мы берем гарантию β, тем доверительный интервал шире.

Пример 21.

По выборке с n=16 для нормальной величины с известной дисперсией σ²=64 найдено х=200. Построить доверительный интервал для генерального среднего (иначе говоря, для математического ожидания) μ, приняв β=0,95.

Решение. I _β(μ)= ± δ, где δ = К_βσ/ -> К_βσ/ =1.96*8/ = 4

I_0.95(μ)=200 4=(196;204).

Делая вывод, что с гарантией β=0,95 истинное среднее принадлежат интервалу (196,204), мы понимаем, что возможна ошибка.

Из 100 доверительных интервалов I_{0. 95} (μ) в среднем 5 не содержат μ.

Пример 22.

Каким в условиях предыдущего примера 21 следует взять n, чтобы вдвое сузить доверительный интервал? Чтобы иметь 2δ=4, надо взять

На практике часто пользуются односторонними доверительными интервалами. Так, если полезны или не страшны высокие значения μ, но не .приятны низкие, как в случае с прочностью или надежностью, то резонно строить односторонний интервал. Для этого следует максимально поднять его верхнюю границу. Если мы построим, как в примере 21, двусторонний доверительный интервал для заданного β, а затем максимально расширим его за счет одной из границ, то получим односторонний интервал с большей гарантией β' = β + (1-β) / 2 = (1+β)/2, например, если β = 0,90, то β = 0,90 + 0,10/2 = 0,95.

Например, будем считать, что речь идет о прочности изделия и поднимем верхнюю границу интервала до . Тогда для μ в примере 21 получим односторонний доверительный интервал (196,°°) с нижней границей 196 и доверительной вероятностью β'=0,95+0,05/2=0,975.

Практическим недостатком формулы (15)_является то, что она выведена в предположении, что дисперсия = σ² (отсюда и = σ²/n) известна; а это бывает в жизни редко. Исключение составляет случай, когда объем выборки велик, скажем, n измеряется сотнями или тысячами и тогда за σ² можно практически принять ее оценку s² или .

Пример 23.

Положим, в некотором большом городе в результате выборочного обследования жилищных условий жителей получена следу­ющая таблица данных (пример из работы [6]).

Таблица 8

Исходные данные к примеру

Естественно допустить, что сл. величина X - общая (полезная) площадь (в м²), приходящаяся на одного человека подчиняется нор­мальному закону. Среднее μ и дисперсия σ² не известны. Для μ тре­буется построить 95%-ный доверительный интервал. Чтобы по группи­рованным данным найти выборочные средние и дисперсию, составим следующую таблицу выкладок (табл.9).

Таблица 9

Вычисления X и 5 по сгруппированным данным

В этой вспомогательной таблице по формуле (2) подсчитаны первый и второй начальные статистические моменты а₁ и а₂

Хотя дисперсия σ² здесь неизвестна, из-за большого объема выборки можно практически применить формулу (15), положив в ней σ= =7.16.

Тогда δ=k_0.95σ/ =1.96*7.16/ =0.46.

Доверительный интервал для генерального среднего при β=0,95 равен I_0.95 (μ) = ± δ = 19 ± 0.46 = (18.54; 19.46).

Следовательно, среднее значение площади на одного человека в данном городе с гарантией 0.95 лежит в промежутке (18.54; 19.46).

2. Доверительный интервал для математического ожидания μ в случае неизвестной дисперсии σ² нормальной величины. Этот интервал для заданной гарантии β строится по формуле ,где ν = n-1 ,

(16)

Коэффициент t_β,ν имеет тот же смысл для t – распределения с ν степенями свободы, что к_β для распределения N(0,1), а именно:

.

Другими словами, сл. Величина tν попадает в интервал (-t_β,ν; +t_β,ν) с вероятностью β. Значения t_β,ν даны в табл.10 для β=0.95 и β=0.99.

Таблица 10.

Значения t_β,ν

Число степеней ν
t0.95,ν	4.3	2.57	2.23	2.13	2.09	2.04	2.00	1.96
t0.99,ν	9.92	4.03	3.17	2.95	2.84	2.75	2.66	2.576

Возвращаясь к примеру 23, видим, что в нем доверительный интервал был построен по формуле (16) с коэффициентом t_β,υ=k_0..95=1.96, т. к. n=1000.

Пример 24.Построить 99%-ный доверительный интервал для генерального среднего диаметра Д валика по "пробе" из 10 деталей, сработанных на токарном автомате, если отклонения х₁ размеров этихваликов от номинального размера оказались следующими (в мк): 2, 1, -2, 3, 2, 4, -2, 5, 3, 4; n=10.

Находим

Строим доверительный интервал для среднего μ (отсчитываемого также от номинального размера) из условия

.

В таблице 10 для числа степеней свободы ν=10-1=9 1%-ный предел t_0.99:9 отсутствует, есть для ν=5 и для ν=10: t_0.99:5=4,03; t_0.99:10=3,17. Линейная интерполяция дает t_0.99:9= Откуда

Таким образом, согласующиеся с нашими опытными данными, иными словами, "допустимые" (с гарантией 99%) значения параметра μ лежат в интервале (-0.55, 4.55). Если коэффициент получать не интерполяцией, а из более подробных таблиц, то найдем точнее =3.25 и интервал I_β(μ) будет чуть уже.

Заметим, что если бы мы приняли число s=2.28 за значение параметра б и применим формулу, то "классические" 99%-ные доверительные границы были бы значительно уже. В самом деле, вместо =3,34 мы бы взяли =2,58 и получили δ= , т.е. оказалось бы Этим мы значительно преувеличили бы действительную точность нашей оценки.