Вероятностный смысл математического ожидания

Пусть произведено n испытаний, в которых случная величина X приняла m1 раз значение x1, m2 раз значение x2, ..., mk paз значение xk, причем . Тогда сумма всех значений, принятых X, равна

,

Найдем среднее арифметическое всех значений, при­нятых случайной величиной, для чего разделим найденную сумму на общее число испытаний:

,

или

. (*)

Заметив, что отношение m1/n – относительная частота W1 значения x1, m2/n – относительная частота W2 значе­ния х2, и т. д., запишем соотношение (*) так:

. (**)

Допустим, что число испытаний достаточно велико. Тогда относительная частота приближенно равна вероятности появления события (это будет доказано в гл. IX, §6):

.

Заменив в соотношении (**) относительные частоты соответствующими вероятностями, получим

.

Правая часть этого приближенного равенства есть М(Х).

Итак,

.

Вероятностный смысл полученного результата таков: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Замечание 1. Легко сообразить, что математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений. Другими словами, на числовой оси возможные значения расположены слева и справа от математического ожидания. В этом смысле математическое ожидание характеризует расположение распределения и поэтому его часто называют центром распределения

Этот термин заимствован из механики: если массы р₁, р₂, …, р_n расположены в точках с абсциссами х₁, х₂, …, х_n причем , то абсцисса центра тяжести

.

Учитывая, что и получим М(Х)=х_с.

Итак, математическое ожидание есть абсцисса центра тяжести системы материальных точек, абсциссы которых равны возможным значениям случайной величины, а массы – их вероятностям.

Замечание 2. Происхождение термина «математическое ожидание» связано с начальным периодом возникновения теории вероятностей (XVI — XVII вв.), когда область ее применения ограничивалась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожи­даемого выигрыша, или, иными словами, математическое ожидание выигрыша.