Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р (0<p<1) и, следовательно, вероятность его непоявления . Испытания заканчиваются, как только появится событие А. Таким образом, если событие А появилось в k-м испытании, то в предшествующих k-1 испытаниях оно не появилось.

Обозначим через Х дискретную случайную величину – число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями Х являются натуральные числа: х₁=1, х₂=2, …

Пусть в первых k-1 испытаниях событие А не наступило, а в k-м испытании появилось. Вероятность этого «сложного события», по теореме умножения вероятностей независимых событий,

.

Полагая k=1, 2, ... в формуле (*), получим геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q (0<q< 1):

(**)

По этой причине распределение (*) называют геометрическим.

Легко убедиться, что ряд (**) сходится и сумма его равна единице. Действительно, сумма ряда (**)

.

Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р = 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. По условию, р=0,6, q= 0,4, k=3. Искомая вероят­ность по формуле (*)

.