Биномиальное распределение
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероятность непоявления q= 1—р). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события А в этих испытаниях.
Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины X. Для ее решения требуется определить возможные значения X и их вероятности. Очевидно, событие А в n испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, ..., либо n раз. Таким образом, возможные значения X таковы: x1 = 0,1, х2 = 2, ..., хn+1 = n. Остается найти вероятности возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:
(*)
где k=0, 1, 2, ..., n.
Формула (*) и является аналитическим выражением искомoгo закона распределения.
Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биноминальным» потому, что правую часть равенства (*) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:
.
Таким образом, первый член разложения pn определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях; второй член определяет вероятность наступления события n-1 раз; …; последний член qn определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.
Напишем биномиальный закон в виде таблицы:
Пример. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – числа выпадений «герба».
Решение. Вероятность появления «герба» в каждом бросании монеты p=1/2, следовательно, вероятность непоявления «герба» q=1-1/2=1/2.
При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения X таковы: x1 = 2, x2= 1, х3 = 0. Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:
Напишем искомый закон распределения:
Контроль: 0,25 + 0,5+0,25=1.
Дата добавления: 2016-03-27; просмотров: 1498;