Интегральная теорема Лапласа
Вновь предположим, что производится n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0 < р < 1). Как вычислить вероятность того, что событие А появится в n испытаниях не менее k1 и не более k2 раз (для краткости будем говорить «от k1 до k2 раз»)? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа, которую мы приводим ниже, опустив доказательство.
Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, приближенно равна определенному интегралу
, (*)
где и .
При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. Таблица для интеграла приведена в приложении 2. В таблице даны значения функции Ф(х) для положительных значений х и для х=0; для х < 0 пользуются той же таблицей [функция Ф(х) нечетна, т. е. Ф (-х) =-Ф (х)]. В таблице приведены значения интеграла лишь до х = 5, так как для х>5 можно принять Ф (х) = 0,5. Функцию Ф (х) часто называют функцией Лапласа.
Для того чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, преобразуем соотношение (*) так:
.
Итак, вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях от k1 до k2 раз,
,
где и .
Приведем примеры, иллюстрирующие применение интегральной теоремы Лапласа.
Пример. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна р = 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.
Решение. По условию, р = 0,2; q = 0,8; n = 400; k1 = 70; k2=100. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
.
Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:
;
.
Таким образом, имеем
.
По таблице приложения 2 находим:
Ф (2,5) = 0,4938; Ф (1,25) = 0,3944.
Искомая вероятность
.
Замечание. Обозначим через m число появлений события А при n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события А постоянна и равна р. Если число m изменяется от k1 до k2,то дробь изменяется от до . Следовательно, интегральную теорему Лапласа можно записать и так:
.
Эта форма записи используется ниже.
Дата добавления: 2016-03-27; просмотров: 1763;