Распределение Пуассона

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения вероятности k появлений со бытия в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же n велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала ( ). В этих случаях (n велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Итак, поставим перед собой задачу найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз. Сделаем важное допущение: произведение np сохраняет постоянное значение, а именно . Как будет следовать из дальнейшего (см. гл. VII, § 5), это означает, что среднее число появлений событии в различных сериях испытаний, т. е. при различных значениях n, остается неизменным.

Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления интересующей нас вероятности:

.

Так как , то Следовательно,

.

Приняв во внимание, что n имеет очень большое значение, вместо Р_n(k) найдем . При этом будет найдено лишь приближенное значение отыскиваемой вероятности: n хотя и велико, но конечно, а при отыскании предела мы устремим n к бесконечности. Заметим, что поскольку произведение пр сохраняет постоянное значение, то при вероятность .

Итак,

.

Таким образом (для простоты записи знак приближенства равенства опущен),

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (п велико) и редких (р мало) событий.

Замечание. Имеются специальные таблицы, пользуясь которыми можно найти Р_n(k), зная k и .

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. По условию, n = 5000, р=0,0002, k = 3. Найдем :

.

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна

.