ВЫБОРОЧНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Эмпирическая функция распределения. По вариационному ряду или выборке легко построить эмпирическую функцию распределения F^*(x) - оценку истинной функции распределения F(x) = P(X<x).

= число точек выборки, лежащих левее т х на оси ох, или

доля точек выборки слева от т. х. Так, = 0.4 означает, что в выборке 40% чисел имеют значение меньшее трех.

График строим так. Двигаясь слева направо вдоль оси ох, на каждой точке х₁ ряда рисуем скачок функции, равный 1/n; меж­ду любыми соседними точками х₁ и х₁+₁ функция постоянна, т.е. график - кусочно постоянная функция, имеющая ступенчатый вид.

Слева от точки х.^{( 1)} равна О, справа от точки х.⁽ⁿ⁾ - равна 1.

Теорема Гливенко

Советским математиком Гливенко была доказана теорема: При числе испытаний, стремящихся к бесконечности эмпирическая функция распределения равномерно сходится к теоретической функции распределения.

Пример 12. Построить график для выборки:

{0.17, 1.53, 0.99, 2.04, 0.56, 1.73, 0.95, 1.25, 0.75, 1.82}, n=10.

Упорядочим выборку: {0.17, 0.56, 0.75, 0.95, 0.99, 1.25, 1.53, 1.73, 1.82, 2.04}, и нанесем точки х^{( 1)} ,х⁽²⁾ , ... , х⁽¹⁰⁾ на ось х. Высота каждой ступеньки графика равна 1/n = 0.1 и число x n=10 .

Эмпирическая функция по статистическому распределению строится точно так же, как функция распределения дискретной cл. величины строится по ряду распределения вероятностей.

Сравним функции и F. F - неизвестная и неслучайная функ­ция, интересующая исследователя. Функция F содержит всю информа­цию о соответствующей величине X, ее можно назвать истинной или теоретической функцией и по ней можно найти, в частности, МХ и DХ и другие моменты распределения.

- функция, находимая по случайной выборке и потому слу­чайная.

С ростом объема n выборки функция приближается к F и

при большом n - практически совпадает с F.

При большом числе наблюдений над непрерывной cл. величиной X прибегают к группировке данных: ось х разбивают на 10-15 интерва­лов , I₂ , . . . ,I_К . Пусть - число наблюдений, попавших в интервал .

Длины интервалов не обязательно одинаковы.

По сгруппированным данным выборочное распределение выражают разными графиками, в первую очередь это:

1) кумулятивная кривая распределения (или график накопленной

частоты) - аппроксимация эмпирической функции распределения ;

2) гистограмма;

3) полигон частот.

Строятся они так.

Кумулятивная кривая. Взяв на оси ох точку - правый конец интервала = 1,2,...,к - отложим в ней по оси ординат накопленную частоту .

Построенные точки плоскости соединим последовательно прямоли­нейными отрезками. В точках разбиения кумулятивная кривая сов­падает с эмпирической функцией распределения , а между этими точками меняется линейно.

Гистограмма. На каждом интервале I_j оси абсцисс строим пря­моугольник с высотой h_j = m_j/(nI_j), обеспечивающей площадь прямо­угольника, равную частоте m_j/n (здесь l_j= - длина интерва­ла I_j). Вся площадь под графиком гистограммы равна 1. Другой ва­риант гистограммы получим, если высоту h_j берем равной m_j , а все длины l_j одинаковы.

Полигон. В середине каждого интервала I_j разбиения строим ординату, равную m_j/n - частоте попадания наблюдений в этот ин­тервал. Соединяем полученные точки прямолинейными отрезками.

Другой вариант полигона получим, соединяя отрезками середины верхних сторон прямоугольников, образующих гистограмму.

Гистограмма и полигон являются эмпирическими аналогами плот­ности вероятности. Если n увеличивать, а длины l_j интервалов уменьшать, то гистограмма и полигон неограниченно приближаются к кривой плотности вероятности cл. величины.

Пример 13. Построить три указанные кривые по сгруппированным данным, представленным в таблице 4 частот, n=200.

Таблица Сгруппированные данные

N интер-
вала
Гранииы ин-
тервала Ij
Число mj
наблюдений

На рисунках 5,6 представлены три выборочные распределения. В

частности, на рис.5 в точке х=115 высота кумулятивной кривой W(х) равна 0.035+0.055+0.075=0.165, в точке х=140 W(х)=0.95, а W(150) = 1 .