ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.

Пусть некоторое интересующее нас событие А может наступить или не наступить с одним из ряда несовместных событий Н₁, Н₂…Н_n, составляющих полную группу. События такого рода обычно называют гипотезами. Вероятности всех гипотез известны, т.е. даны Р(Н₁), Р(Н₂), …, Р(Н_n). Известны также условные вероятности наступления события А при осуществлении каждой из указательных гипотез, т.е. даны Р(А/Н₁), Р(А/Н₂), …, Р(А/Н_n). Вероятность интересующих нас события А определяется по следующей теореме.

Теорема. Вероятность события А, которое может произойти вместе с одной из гипотез Н₁, Н₂…Н_n равна сумме парных произведений вероятностей каждой из этих гипотез на отвечающее им условные вероятности наступления события А.

формула полной вероятности

Доказательство. Так как гипотезы Н₁, Н₂…Н_n образуют полную группу, то событие А можно представить в виде следующей сумме событий

Поскольку события Н_i несовместимы, т.е. события АН_i (i=1,2, …,n) тоже несовместны. Это обстоятельство позволяет применить для определения вероятности событие А теорему сложения вероятностей несовместных событий:

Вероятность же произведения событий А и Н_i , находится по аксиоме умножения вероятностей:

Подставляя последнее выражение получим: