ТЕОРЕМА ГИПОТЕЗ (ФОРМУЛА БЕЙЕСА).

Имеется полная группа несовместных гипотез Н₁, Н₂…Н_n . Известны вероятности каждой из гипотез Р(Н₁₎, Р(Н₂), …, Р(Н_n)_. Производится опыт и в его результате осуществляется некоторое событие А, вероятности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны Р(А/Н₁), Р(А/Н₂), …, Р(А/Н_n).

Спрашивается какие вероятности имеют гипотезы Н_i (i=1, 2, …, n) в связи с появлением события А? Другими словами, нас интересует условные вероятности Р(Н_i/А) для каждой гипотезы.

Теорема гипотез. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании деленному на полную вероятность этого события.

формула Бейеса.

Доказательство. На основании аксиомы умножения вероятности имеем Р(А)Р(Н_i /А)=Р(Н_i) Р(А/Н_i).

Разрешая это уравнение относительно Р(Н_i/А), при условии, что Р(А)¹0, получим .

Выражая Р(А) с помощью формулы полной вероятности поучим доказываемое равенство

.

В частном случае, если все гипотезы Н_i (i=1, 2, …, n) до испытания имеют одинаковую вероятность Р(Н_i)= р, формула Бейеса принимает вид

.