Вынужденные колебания в случае непериодической возмущающей силы.

Уравнение движения при отсутствии сопротивления для механической системы с одной степенью свободы записывается в виде

, (2.16)

где - квадрат круговой частоты свободных колебаний, - обобщенный инерционный коэффициент, - обобщенный коэффициент жесткости, - обобщенная сила.

Решение предполагаем искать в виде :

, (2.17)

где и - неизвестные функции времени.

Обобщенная скорость находится дифференцированием (2.17):

.

Воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. «Постоянные» и можно связать дополнительным условием: потребуем, чтобы выражение для имело тот же вид, что и при постоянных и , не зависящих от времени, т.е.

. (2.18)

Тогда должно выполняться равенство:

. (2.19)

Дифференцируя выражение (2.18), найдем ускорение

. (2.20)

Подставляя (2.17) и (2.20) в (2.16), найдем, что

. (2.21)

Уравнения (2.19) и (2.21) образуют систему неоднородных уравнений, содержащую две неизвестные функции и . Определитель этой системы отличен от нуля ( ), поэтому система не вырожденная. Ее решение находим с помощью правила Крамера:

; .

Интегрируем эти выражения:

; .

Здесь и - произвольные постоянные, равные значениям и при . Используя (2.17), (2.18) и начальные условия ( : , ), находим: и . Общее решение запишется в виде

или в более компактной форме:

.

При нулевых начальных условиях : ; (в начальный момент система покоилась) решение упрощается:

.