Свободные колебания упругих систем с конечным числом степеней свободы.

Свободные колебания возникают при начальных возмущениях системы. Если положение равновесия системы, принятое за начало координат, устойчиво, то при небольших начальных отклонениях от положения равновесия ( , ) возникнут малые колебания, которые называются свободными. Для записи уравнений движения воспользуемся уравнениями Лагранжа:

;

где - обобщенные силы, не имеющие потенциал. В рассматриваемых ниже задачах обобщенные силы являются функциями времени, координат и скоростей точек системы . Так как кинетическая энергия равна , то

, .

Тогда уравнения Лагранжа преобразуются к виду

. (3.1)

Это и есть уравнения колебательного движения. Механическая система консервативна, если для действующих на нее внешних и внутренних сил можно записать выражение потенциальной энергии. В этом случае уравнения движения удобно записать в матричной форме. Воспользуемся для этого полученным ранее выражением для потенциальной энергии

.

Вычислим обобщенную силу

.

Уравнения движения (3.1) принимают вид

или в матричной форме

. (3.2)

Здесь - вектор (транспонированная матрица – столбец) обобщенных координат; - квадратная матрица обобщенных коэффициентов инерции; - квадратная матрица обобщенных коэффициентов жесткости. Решение уравнения (3.2) разыскивается в виде

,

где - частота колебаний; - матрица – столбец амплитуд. После подстановки предполагаемого вида решения в исходное матричное уравнение (3.2), получим

Это матричная запись однородной системы алгебраических уравнений. Она имеет нетривиальное решение, когда главный определитель матрицы равен нулю

.

Корнями этого уравнения являются частоты свободных колебаний . Каждому значению частоты свободных колебаний соответствует собственный вектор , который называют формой колебаний.

Если с помощью начальных условий в реальной системе задать соотношение амплитуд, соответствующих какой-то одной форме колебаний, то колебания будут происходить с соответствующей частотой [8]. Если произвольно задать начальные условия, то колебания будут представлять смесь колебаний с различными частотами, то есть происходить в определенной пропорции.

Применим основные теоретические положения, изложенные выше, для описания движения механической системы с двумя степенями свободы. Уравнение колебательного движения запишется в виде

; (3.3)

Решение представляется в форме

; .

Или в матричной форме

.

После подстановки предполагаемого решения в уравнение (3.3), имеем

(3.4)

Это матричная запись системы однородных алгебраических уравнений. Ее нетривиальное решение возможно только в случае равенства нулю ее определителя:

.

Частоты свободных колебаний определяются из уравнения

или в развернутой форме

(3.5)

При раскрытии определителя учтено, что .

Выражение (3.5) называется частотным уравнением. Корни и этого уравнения должны быть вещественными и положительными, так как колебания совершаются около устойчивого положения равновесия. Частоты и называются собственными или главными. Они не зависят от обобщенных координат и начальных условий, а определяются только инерционно–жесткостными характеристиками самой колебательной системы.

Рис.3.1

Если коэффициенты и равны нулю, то система дифференциальных уравнений распадается на два независимых уравнения

; ,

в которых , представляют собой частоты парциальных колебаний. В этом случае колебания по каждой обобщенной координате происходят независимо.

Подставляя поочередно найденные частоты и в систему (3.4), находим отношения амплитуд:

; .

Величины и определяются только инерционно–жесткостными характеристиками системы и не зависят от начальных условий. Они называются коэффициентами распределения амплитуд по частотам. Формы колебаний – это набор амплитудных значений обобщенных координат: ; - первая форма колебаний; ; - вторая форма колебаний. То есть для каждой собственной частоты существует своя форма колебаний.

Частные решения системы уравнений (главные колебания) для частот и запишутся так:

; ;

; .

В силу линейности системы уравнений (3.4) общее решение запишется как сумма главных колебаний по каждой координате

; (3.6)

. (3.7)

Четыре произвольные постоянные, содержащиеся в (3.8) и (3.9) находятся из начальных условий: , , , . Таким образом, колебания по каждой координате есть наложение двух главных колебаний. Общий колебательный процесс не будет периодическим, если частоты и существенно отличаются.

Формы колебаний определяются с точностью до постоянного множителя, поэтому обычно их нормируют. Один из способов нормирования: принять , тогда

; .

При такой нормировке коэффициенты называют коэффициентами формы. Если форма колебаний такова, что и , то такая нормировка не годится.

ПРИМЕР 1. Определить частоты и формы свободных колебаний системы, считая известными жесткость пружин и массу материальных точек.

Рис. 3.2

РЕШЕНИЕ. Введем обобщенные координаты: и , которые определяют абсолютные смещения масс относительно положения равновесия. Кинетическая и потенциальная энергии вычисляются по формулам

; .

Найдем обобщенные коэффициенты инерции и жесткости:

, , ,

, , .

Составляем матрицы инерции и жесткости

; .

Частотное уравнение принимает вид

.

Ряд несложных преобразований

; ; ;

позволяет найти корни уравнения

, .

Для определения форм собственных колебаний воспользуемся уравнением

,

матричная форма которого для рассматриваемого примера записывается в виде

. (3.8)

Подставим первый корень в это матричное уравнение

(3.9)

Система (3.9) состоит из двух линейно-зависимых уравнений, поэтому форму колебаний можно найти только с точностью до постоянного множителя. Нормируя форму , из первого уравнения системы (3.9), находим

.

Повторяя эту процедуру для второго корня , находим нормированную форму колебаний

, ,

которая соответствует второй собственной частоте. Графическое изображение первой и второй форм колебаний представлено на рис. 3.3.

Рис. 3.3

Законы изменения обобщенных координат являются суммами главных колебаний

;

.

ПРИМЕР 2. Определить частоты и формы свободных колебаний системы (рис.3.4), считая известными жесткость пружины , а также массы и геометрические размеры твердых тел, входящих в состав плоского механизма.

Рис.3.4

РЕШЕНИЕ. Это система с двумя степенями свободы. В качестве обобщенных координат выбираем перемещения груза и центра диска . Кинетическая энергия механизма записывается в форме

.

Вычисляем обобщенные коэффициенты инерции для частного случая, когда , , , ,

; ;

Запишем потенциальную энергию системы

. (3.10)

Заметим, что потенциальная энергия поля тяготения не содержит слагаемых, зависящих от 2-ой степени обобщенных координат, поэтому она не учитывается в выражении (3.10). Вычисляем величины обобщенных жесткостей, полагая и

; ; .

Уравнение движения записывается в матричной форме:

; . (3.11)

Решение этого матричного дифференциального уравнения будем разыскивать в форме

; .

После подстановки решения в уравнение (3.11), приходим к однородному алгебраическому матричному уравнению

. (3.12)

Для отыскания нетривиального решения, приравняем определитель матрицы уравнения к нулю, в результате приходим к частотному уравнению

.

Его корни (собственные частоты) равны

; .

Коэффициенты распределения амплитуд и определяем из уравнения (3.12) в результате последовательной подстановки в него собственных частот и :

для частоты находим ;

для частоты находим .

Теперь можно записать выражения для нормированных форм колебаний (рис.3.5):

, - первая форма;

, - вторая форма.

Рис.3.5

Законы изменения обобщенных координат записываются как линейные комбинации главных колебаний:

;

.

ПРИМЕР 3. Для двойного математического маятника, изображенного на рисунке 3.6, получить линейную модель и найти частоты и формы ее главных колебаний.

Рис.3.6

РЕШЕНИЕ. Для получения дифференциальных уравнений движения воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода для консервативных механических систем:

; где ; .

Составим выражение для кинетической энергии двойного математического маятника:

.

Скорость второй тяжелой точки представляется как сумма , где - скорость переносного движения с первой тяжелой точкой, а - относительного вращения вокруг первой точки. Тогда

.

Выбрав в качестве независимых обобщенных координат углы с вертикалью и , выражение для кинетической энергии можно привести к виду:

.

Составим выражение для потенциальной энергии и найдем обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам и . Для этого вычислим работу сил и при перемещении системы из отклоненного положения в горизонтальное (принятое за положение с нулевой потенциальной энергией):

.

Выполнив дифференцирование, получим формулы для обобщенных сил:

и .

Для анализа малых колебаний целесообразно представить потенциальную и кинетическую энергии в виде разложений в степенные ряды Маклорена, т.е. для малых отклонений от положения равновесия справедливы приближенные равенства: . В результате приходим к приближенным формулам для вычисления кинетической и потенциальной энергий

;

.

Перейдем к вычислению слагаемых, входящих в уравнения Лагранжа второго рода:

.

Составим уравнения Лагранжа в линеаризованной форме:

.

Приведем полученную систему линейных дифференциальных уравнений к стандартному виду:

;

.

Тогда уравнение частот примет вид

.

Для окончательного решения целесообразно задать числовые значения соответствующих величин либо достаточно простые соотношения между ними. Так, для частного случая , уравнение примет вид

.

Из него достаточно просто найти частоты главных колебаний

.

Коэффициенты распределения амплитуд и определяем из уравнения (3.12) в результате последовательной подстановки в него собственных частот и :

.