Главные (нормальные) координаты.

Изменение каждой обобщенной координаты во времени представляет собой наложение двух простых гармонических колебаний с произвольными амплитудами и фазами, определяемыми из начальных условий, но имеющими определенные частоты и коэффициенты форм, которые зависят только от инерционно-жесткостных характеристик. Изменение координат в общем случае будет негармоническим. Возникает естественный вопрос: нельзя ли выбрать обобщенные координаты так, чтобы каждая из них изменялась по гармоническому закону

Формулы (3.6) и (3.7) можно рассматривать как формулы линейного преобразования координат и в координаты и

; (3.19)

Воспользуемся представлением обобщенных координат в форме матрицы - столбца

и ,

Тогда линейное преобразование (3.19) можно записать в матричной форме

,

где -транспонированная матрица матрицы линейных преобразований , строки матрицы представляют собой формы собственных колебаний. Справедливо соотношение

В старых обобщенных координатах кинетическая и потенциальная энергии записываются так

,

.

Кинетическая и потенциальная энергии, записанные в новых координатах, содержат лишь квадраты обобщенных скоростей и координат

,

.

Введем новые определения для обобщенных масс и жесткостей

- новые обобщенные массы,

- новые обобщенные жесткости.

Кинетическая и потенциальная энергии в новых координатах запишутся в виде

, .

Установленная связь между матрицами обобщенных коэффициентов инерции и жесткости

,

,

позволяет получить очень важные формулы для вычисления этих коэффициентов в новых координатах

; ;

; ;

; .

Последние два выражения позволяют вычислить формы собственных колебаний

Таким образом, мы показали, что существуют такие координаты , в которых дифференциальные уравнения колебаний разделяются:

, .

Каждое уравнение выглядит так, как уравнение колебаний механической системы с одной степенью свободы. Эти координаты называются главными. Если есть произвольный набор координат, для которых найдены формы и частоты свободных колебаний, то можно построить матрицу преобразования . Строки этой матрицы состоят из коэффициентов форм колебаний. Сами главные координаты находятся по правилу

.

Матрица жесткости в главных координатах является диагональной:

.

Матрица масс в главных координатах, также является диагональной:

.

Если речь идет о вычислении амплитуд установившихся вынужденных колебаний, то матрица правых частей (возмущающих сил) строится по правилу

.

При этом система уравнений, описывающая вынужденные колебания, распадается на отдельные независимые уравнения:

, .

ПРИМЕР 6. Найти закон вынужденных колебаний механической системы, представленной на рис.3.14, используя главные координаты. Все необходимые величины указаны на рисунке.

Рис. 3.14

РЕШЕНИЕ. Используя в качестве обобщенных координат координаты материальных точек, введем в рассмотрение матрицу - столбец обобщенных координат

Для получения матриц инерции, жесткости и возмущающего силового воздействия используем решение примера 1:

; ; .

Для этой задачи ранее были вычислены формы собственных колебаний:

- первая форма, соответствующая частоте ;

- вторая форма, соответствующая частоте .

Используя формы собственных колебаний, записываем матрицу преобразований

.

Переходим к главным координатам

; .

Строим матрицы для новых обобщенных коэффициентов инерции и жесткости

;

.

Строим новую матрицу – столбец возмущающих сил

.

Записываем уравнения движения в главных координатах:

.

Решение этого уравнения разыскиваем в виде

После подстановки решения в уравнение движения имеем

.

В результате приходим к двум независимым алгебраическим уравнениям:

,

Отсюда находим амплитуды установившихся вынужденных колебаний:

; .

Решение для установившихся колебаний в главных координатах записывается в виде

.