Точечные и интервальные оценки

Характеристики генеральной совокупности обычно неизвестны. Задача заключается в их оценке по характеристикам выборочной совокупности.

Характеристики генеральной совокупности принято называть параметрами, а выборочной совокупности – оценками.

Пусть искомый параметр генеральной совокупности есть q₀, а на основе выборки объема n определяется оценка q.

Различают точечные и интервальные оценки параметров генеральной совокупности.

Точечной оценкой q параметра q₀ называется числовое значение этого параметра, полученное по выборке, т.е. q₀ ≈ q.

Для того, чтобы выборочная оценка давала хорошее приближение оцениваемого параметра, она должна удовлетворять определенным требованиям (несмещенности, эффективности и состоятельности).

1. Несмещенность оценок. Оценка q является несмещенной, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру q₀ при любом объеме выборки, т.е. M(q) = q₀.

Если это не так, то оценка называется смещенной, а разность M(q) – q₀ –смещением.

Таким образом, требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

Выборочная средняя является несмещеннойоценкой генеральной средней m, т.к. M( ) = m . Тем не менее оценка не единственная возможная несмещенная оценка m.

Выборочная дисперсия var(x) является смещенной оценкой генеральной дисперсии , при этом:

.

В качестве несмещенной оценки генеральной дисперсии используется величина (исправленная дисперсия):

для которой .

Отметим, что в знаменателе остаточной дисперсии стоит число степеней свободы (n – 1), а не n, так как одна степень свободы теряется при определении выборочной средней.

Замечание. Для получения несмещенной оценки дисперсии случайной величины соответствующую сумму квадратов отклонений от средней делят на число степеней свободы, т.е. на число свободы независимого варьирования случайной величины. Число степеней свободы равно разности между числом единиц совокупности n и числом определяемых по ней констант.

Стандартным отклонением s_x случайной величины в выборке называется корень квадратный из ее исправленной дисперсии:

По данным примера 1 определим , s²:

Для вычисления исправленной дисперсии и стандартного отклонения в Excel используют функции:

s_x²=DИСП(массив x), s_x = СТАНДОТКЛОН(массив x).

2. Эффективность оценок. Несмещенная оценка q называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию по сравнению с другими выборочными оценками, т.е. minD(q).

Предположим, что имеются две оценки параметра q₀, рассчитанные на основе одной и той же информации (рис. 2). Оценка A является более эффективной, чем оценка B, т.к. имеет меньшую дисперсию.

Рис. 2.

Выборочная средняя является эффективной оценкой генеральной средней m, т.е. имеет наименьшую дисперсию в классе несмещенных оценок.

3. Состоятельность оценок. Оценка q называется состоятельной, если при она стремится по вероятности к оцениваемому параметру q₀, т.е.

Иначе говоря,состоятельной называется такая оценка, которая дает точное значение для большой выборки независимо от входящих в нее конкретных наблюдений.

На рис. 3 показано, как при различном объеме выборки может выглядеть распределение вероятностей (состоятельная оценка, смещенная на малой выборке).

Рис. 3

Теорема Чебышева закона больших чисел утверждает, что

т.е. выборочная средняя является состоятельной оценкой генеральной средней m.

Пусть выборочная характеристика q служит оценкой неизвестного параметра q₀. Наряду с точечными оценками параметров (в виде одного числа) рассматривают интервальные оценки (в виде двух чисел – концов интервала).

Интервальной называют оценку, определяющую числовой интервал (q – e; q + e ), e >0, содержащий оцениваемый параметр q₀, т.е. q – e < q₀< q + e, или |q – q₀|< e

Доверительным интервалом называется интервал |q – q₀| < e, в котором с заданной вероятностью g заключен неизвестный параметр q₀, а сама вероятность называется доверительной вероятностью, т.е.

P(|q – q₀ | < e ) = g

Уровнем значимости a называется вероятность P(|q – q₀ | > e ) = a, причем a = 1 – g.