Моделирование периодических колебаний

Пусть значения временного ряда колеблются около среднего значения . Изобразим траекторию этого ряда в виде графика, представленного на рис. 6.1. Данная траектория вряд ли может являться реализацией реального процесса, но рисунок хорошо иллюстрирует вводимые ниже определения.

Периодом называется интервал времени, необходимый для того, чтобы значения временного ряда начали повторяться. Его обычно обозначают Р. Временной ряд, траектория которого изображена на рис. 6.1, имеет период Р=10.

Период измеряется числом единиц времени за цикл. Если временной ряд имеет период Р, то и 2Р, и 3Р, и т.д. также являются его периодом. В общем случае ряд считается периодическим, если выполняется равенство

, где

Частотой называется величина, обратная периоду. Ее обозначают и она равна . Частота указывает число повторений цикла в единицу времени. В рассматриваемом случае . Очевидно, что терминами «период» и «частота» можно пользоваться как взаимозаменяемыми.

0 2 7 12

Рис. 6.1. График периодической функции

В частном случае временной ряд из констант ( ) можно считать периодическим с частотой .

Амплитудой периодического ряда называется отклонение от среднего значения временного ряда до пика или впадины. Амплитуду принято обозначать через .

Фазой называется расстояние между началом отсчета времени и ближайшим пиковым значением и обозначается .

Периодически временные ряды могут флуктуировать возле возрастающего или убывающего среднего.

В экономике также встречаются временные ряды с возрастающей или убывающей амплитудой.

Если временной ряд не имеет тренда среднего значения и дисперсия постоянна (т.е. среднее и дисперсия не зависят от времени), то такие временные ряды называют стационарными.

Если при анализе временного ряда возникает ситуация, когда тренд нужно исключить, то это легко сделать, построив регрессию по МНК и перейдя к остаткам . Альтернативный подход, позволяющий исключить тренд, предусматривает переход к разности . В общем случае стационарный временной ряд можно задать, используя четыре выше введенных параметра

. (6.1)

Такая форма представления временного ряда называется гармоническим представлением.

Для временного ряда, траектория которого изображена на рис. 6.1, если , то , так как .

Периодические функции удобно выражать через угловую частоту , задаваемую радианами в единицу времени

, .

Если использовать угловую частоту, то модель временного ряда можно записать в виде

, (6.2)

где является фазой.

Последнее уравнение часто записывают через тригонометрические функции в виде

, (6.3)

где , .