Многофакторные адаптивные модели

Необходимость применения принципов адаптации при построении многофакторных моделей возникает тогда, когда есть основание считать, что степень влияния факторов на моделируемый показатель зависит от времени, т.е. когда для достижения адекватности реальному процессу требуется модель с изменяющимися во времени коэффициентами. В общем случае такую модель можно записать в виде

, (5.40)

где значение зависимой переменной (показателя) в момент ;

-мерная вектор-строка значений независимых переменных (факторов) в момент ;

-мерный вектор-столбец оцениваемых коэффициентов модели, изменяющих с течением времени свои значения по неизвестному закону;

ненаблюдаемая случайная ошибка.

Для удобства записи свободный член модели (5.40) отдельно не выделяется, но неявно считается, что первая компонента вектор-строки независимых переменных тождественно равна единице, т.е. является фиктивной переменной .

Чтобы учесть изменяющийся характер коэффициентов, делается предположение о том, что каждый набор текущих значений этих коэффициентов может обеспечивать высокую точность аппроксимации только текущим и близким к ним наблюдениям, оставляя ее низкой для более ранних наблюдений. Фактически, в рамках теории регрессионного анализа это предположение эквивалентно гетероскедастичности, т.е. случаю, когда в отличие от стандарта (гомоскедастичности) соотношение

(5.41)

определяет ковариационную матрицу, которая, хотя и является диагональной, но с неравными между собой диагональными элементами, причем при . Для того чтобы выровнять точность аппроксимации по всему рассматриваемому промежутку времени и тем самым как бы свести рассматриваемую задачу к обычной схеме регрессионного анализа, вводится в рассмотрение весовая функция. Удобной для этих целей признана весовая функция вида

(5.42)

с помощью которой осуществляется экспоненциальное сглаживание отклонений.

В условиях неравнозначности наблюдений при заданных значениях весовой функции (5.42) вектор оценок коэффициентов для любого при можно получить как решение экстремальной задачи

(5.43)

функционал которой представляет собой экспоненциально взвешенную сумму отклонений расчетных значений от фактических.

Модель с коэффициентами, полученными как результат решения задачи (5.43), в силу смещения точности аппроксимации к наблюдениям с высокими весовыми коэффициентами позволяет учитывать при расчете прогнозных значений в основном только те тенденции, которые проявляются в последних наблюдениях. И если последовательно для каждого осуществляется построение такой модели, то мы имеем дело с текущим регрессионным анализом. Текущий регрессионный анализ позволяет проследить за динамикой коэффициентов регрессии и выяснить ее характер, что в общем-то и требуется при решении динамической задачи.

Приведем подробный вывод расчетных формул рекуррентной схемы метода наименьших квадратов. Для этого продифференцируем функционал задачи (5.43) по компонентам вектора , приравняем полученное выражение к нулю, и после очевидных преобразований запишем схему уравнений в следующем виде:

. (5.44)

Введем матричные обозначения

, , ,

где вектор-столбец с компонентами, равными значениям прогнозируемого показателя в последовательные моменты времени;

матрица с элементами, равными значениям факторов в последовательные моменты времени;

диагональная матрица весовых коэффициентов.

Тогда, используя введенные обозначения, систему (5.44) можно переписать в более компактной форме

. (5.45)

Разрешая систему (5.45) относительно , получаем выражение для вектора оценок

. (5.46)

Теперь, чтобы выразить текущие оценки через оценки предыдущего периода и текущее наблюдение, в качестве которого будем рассматривать значения зависимой переменной и вектора независимых переменных в момент времени , представим решение (5.46) в виде, удобном для проведения дальнейших преобразований.

. (5.47)

Далее, вводя обозначения

и используя формулу Шермана – Моррисона для рекуррентного обращения матриц, выражение для вектора оценок перепишем следующим образом:

. (5.48)

Произведя почленное перемножение, получаем

. (5.49)

Перегруппировав члены полученного выражения и вынеся общий множитель , имеем

(5.50)

Выполнив вычитание в квадратных скобках, окончательно получаем

. (5.51)

Полученная формула совместно с рекуррентной формулой обращения матриц позволяет по мере поступления новых данных ввести корректировку коэффициентов регрессии, не прибегая к повторению всего объема вычислений, и по существу выполняет функции адаптивного механизма регрессионной модели (5.40). Если теперь соединить модель и ее адаптивный механизм, то получается следующая запись адаптивной многофакторной модели:

, (5.52)

, (5.53)

(5.54)

При заданных начальных значениях и известном значении параметра сглаживания модель (5.52) – (5.54) позволяет по мере поступления «свежих» данных обновлять коэффициенты и с учетом этого обновления вести соответствующие расчеты прогнозных значений .

Как известно из практики эконометрического моделирования, построение многофакторных регрессионных моделей осуществляется в несколько этапов:

1. Отбор факторов для включения в модель.

2. Определение наилучшей формы связи.

3. Расчет коэффициентов регрессии.

4. Проверка адекватности и практическое использование модели в анализе и прогнозных расчетах.

Этой схемы стараются придерживаться и при построении адаптивных многофакторных моделей. Однако четкое представление о содержании этапов, их составе и порядке выполнения пока еще не сложилось. Поэтому имеет смысл говорить только о рекомендациях общего характера. Например, можно в дополнение к выполняемым на этих этапах процедурам предусмотреть исследование возможных вариантов перераспределения с течением времени степени влияния факторов на моделируемый показатель, и окончательный их набор, включаемый в модель, формировать с учетом полученных результатов.