Линейные комбинации. Базисы

Пусть . Будем говорить, что есть линейная комбинация элементов .

Теорема III.1 (основная). Множество ненулевых элементов линейно зависимо тогда и только тогда, когда некоторый элемент , является линейной комбинацией предшествующих элементов.

Доказательство. Необходимость. Предположим, что элементы , , …, линейно зависимы и пусть первое натуральное число, для которого элементы , , …, линейно зависимы, тогда

,

при не всех равных нулю и обязательно (иначе этим коэффициентом было бы , что противоречило бы заявленному). Отсюда имеем линейную комбинацию

.

Достаточность очевидна, поскольку, каждое множество, содержащее линейно зависимое множество, само линейно зависимо ▼.

Определение. Базисом (координатной системой) линейного пространства L называется множество A линейно независимых элементов, такое, что каждый элемент из L является линейной комбинацией элементов из A, [11].

Мы будем рассматривать конечномерные линейные пространства , .

Пример III.9. Рассмотрим трехмерное векторное пространство . Возьмем единичные векторы , , . Они образуют базис при .

Покажем, что векторы линейно независимы. В самом деле, имеем

или . Отсюда по правилам умножения вектора на число и сложения векторов (пример III.2) получим

или .

Следовательно, , , ▼.

Пусть – произвольный вектор пространства , тогда исходя из аксиом линейного пространства получаем

.

Аналогичные рассуждения справедливы для пространства с базисом, . Из основной теоремы следует, что в произвольном конечномерном линейном пространстве L любой элемент может быть представлен как линейная комбинация его базисных элементов , , …, , то есть

.

Причем такое разложение единственно. В самом деле, пусть имеем

,

тогда после вычитания получаем

.

Отсюда, в силу независимости элементов , ,

, то есть ▼.

Теорема III.2 (о дополнении до базиса).Пусть – конечномерное линейное пространство и – некоторое множество линейно независимых элементов. Если они не образуют базис, то в можно найти такие элементы , , …, , что множество элементов образуют базис в . То есть, каждое линейно независимое множество элементов линейного пространства может быть дополнено до базиса.

Доказательство. Поскольку пространство – конечномерное, то у него есть базис, состоящий, например, из n элементов, пусть это элементы . Рассмотрим множество элементов .

Применим основную теорему. В порядке следования элементов рассмотрим множество A. Оно заведомо линейно зависимое, поскольку любой из элементов есть линейная комбинация , , . Так как элементы , , …, – линейно независимые, то добавляя к нему последовательно элементы до тех пор, пока не появится первый элемент, например, , такой, что он будет линейной комбинацией предыдущих векторов этого множества, то есть . Выбрасывая этот элемент из множества A, получим . Продолжаем эту процедуру до тех пор, пока в этом множестве не останется n линейно независимых элементов, среди которых все элементы ,
, …, и n-m из элементов . Полученное множество и будет базисом ▼.

Пример III.10. Доказать, что векторы , , и образуют линейно зависимое множество, а любые три из них линейно независимы.

Покажем, что существуют не все равные нулю числа , для которых

.

В самом деле, при , имеем

,

.

Линейная зависимость доказана. Покажем, что тройка векторов, например , , , образует базис. Составим равенство

,

.

Выполняя действия с векторами, получим

.

Приравнивая соответствующие координаты в правой и левой частях последнего равенства, получим систему уравнений , , , решая ее, получим .

Аналогичное рассуждение справедливо и для оставшихся троек векторов , , или , , .

Теорема III.3 (о размерности пространства). Все базисы конечномерного линейного пространства L состоят из одинакового числа базисных элементов.

Доказательство. Пусть даны два множества , где ; , . Каждому из них припишем одно из двух свойств, определяющих базис: 1) через элементы множества A линейно выражаются любые элементы из L, 2) элементы множества B представляют линейно независимую совокупность, но не обязательно всю из L. Будем считать, что элементы A и B упорядочены.

Рассмотрим множество A и применим к его элементам m раз метод из основной теоремы. Так как элементы из B линейно независимы, то получим, по-прежнему, линейно зависимое множество

. (III.4)

В самом деле, если бы , то получилось бы линейно независимое множество , а оставшиеся n элементов множества B линейно выражались бы через них, что невозможно, значит . Но этого тоже быть не может, так как по построению множество (III.4) обладает свойством базиса множества A. Поскольку пространство L конечномерное, то остается только , то есть два разных базиса пространства L состоят из одинакового числа элементов ▼.

Следствие. В любом n-мерном линейном пространстве
( ) можно найти бесконечно много базисов.

Доказательство следует из правила умножения элементов линейного (векторного) пространства на число.

Определение.Размерностью линейного пространства L называется число элементов, составляющих его базис.

Из определения следует, что пустое множество элементов – тривиальное линейное пространство – имеет размерность 0, что, как следует заметить, оправдывает терминологию линейной зависимости и позволяет заявить: n-мерное пространство имеет размерность n, .

Таким образом, подводя итоги сказанному, получаем, что каждое множество из n+1 элемента n-мерного линейного пространства линейно зависимо; множество из n элементов линейного пространства является базисом тогда и только тогда, когда оно линейно независимое (или каждый элемент пространства является линейной комбинацией элементов его базиса); в любом линейном пространстве число базисов бесконечно.