VI. Линейные операторы

Линейный оператор

В линейной алгебре, помимо векторных пространств, фундаментальное значение имеют линейные операторы (или линейные преобразования) [1, 7, 11].

Как общее понятие, оператор – отображение одного множества на другое, каждое из которых наделено некоторой структурой (системой аксиом, отношением порядка, алгебраической операцией и т.д.). Аналогом оператора в математическом анализе является функция.

Современное определение линейного оператора A принадлежит Дж. Пеано для векторных пространств с основным полем R действительных чисел, с областью определения и областью значений в L.

Отметим, что при использовании современной вычислительной техники (кластеров, вычислительных систем, нейронных систем) эффективность параллельных программ существенно повышается, если представленные для решения задачи записаны в векторной (операторной) форме.

Поскольку линейный оператор рассматривается как отображение , или как функция , то в дальнейшем, векторы будем обозначать малыми буквами x, y, …, возможно с индексами, .

Определение. Линейным оператором A на векторном пространстве L называется линейное преобразование одного вектора в другой из того же пространства, так что выполняются свойства линейности

,

, (VI.1)

что эквивалентно линейной комбинации,

, . (VI.2)

Из (VI.1) следует, что среди линейных операторов существуют:

а) нулевой, , то есть такой, что , , где
0 – нулевой вектор;

б) единичный (тождественный) , то есть такой, что ;

в) подобия P, то есть такой, что ,

отсюда следует, что при получаем нулевой оператор, а при тождественный.

Из (VI.2) следует, что , где , . Область значений оператора A является подпространством, в частности множество векторов , таких что – подпространство.

Множество называется ядром оператора A, а размерность ядра называется дефектом оператора A.

Пример VI.1. Пусть в векторном пространстве L задан базис. Оператор A ставит в соответствие каждому вектору x его координату с фиксированным номером. Доказать, что A – линейный оператор.

Доказательство. Пусть , , тогда, например, , , покажем, что

, .

В самом деле, имеем из (VI.2),

. ▼