Характеристический многочлен

Продолжим изучение линейных операторов. Нам уже известно, что с каждым оператором A связана квадратная матрица , с которой, в свою очередь, связан ее определитель . Значение определителя есть скаляр (число). Следовательно, является функцией, ставящей в соответствие оператору A скаляр. Поэтому изучение свойств определителя может упростить исследование свойств оператора.

Определение.Скаляр l называется собственным числом (собственным значением), а ненулевой вектор x – собственным вектором линейного оператора A, действующего в n-мерном векторном пространстве L, если

. (VI.5)

Рассматривая как вектор , любой вектор , , коллинеарный x, будет собственным вектором с собственным числом l. Если собственному значению l соответствует два вектора, x и y, то собственным вектором будет и любой ненулевой вектор вида . Поскольку 0-вектор не является собственным, то множество M всех собственных векторов оператора A не является подпространством. Если же M дополнить 0-вектором, то M станет подпространством. Кратностью собственного значения l называется размерность подпространства M; собственное значение l называется простым, если его кратность равна 1.

Упражнение. Найти все собственные числа и векторы операторов нулевого - О и тождественного – E. Определить их кратность, если линейный оператор действует в n-мерном линейном пространстве.

Теорема VI.1. Семейство собственных векторов оператора A, соответствующих аналогичному семейству собственных значений , , линейно независимо.

Доказательство. Применим метод математической индукции. При теорема верна по определению собственного вектора, как отличного от нулевого.

Пусть при любом , например, при , теорема верна, но неверна при . Тогда, если система векторов , , …, , будет линейно зависимой, то есть существуют числа , , не все равные 0, например, , что выполняется

. (VI.6)

Применяя к ней линейный оператор A, с учетом (VI.5), получим,

. (VI.7)

Умножая (VI.6) на и вычитая из (VI.7), будем иметь

.

Полученная линейная комбинация в силу индуктивного предположения линейно независима, то есть все коэффициенты при равны 0, в том числе и ,но, по предположению, , тогда , но тогда , что невозможно, по условию теоремы. ▼

Следствие. Линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве, не может иметь более чем n попарно различных собственных значений.

Из определения собственного вектора линейного оператора следует, что образ и прообраз x – коллинеарны. Это означает, что не каждый линейный оператор, действующий в линейном пространстве над полем действительных чисел, имеет хотя бы один собственный вектор. Например, при любом повороте осей на угол, не кратный p, мы не получим коллинеарных векторов.

Перейдем к выводу уравнения, которому удовлетворяют все собственные векторы.

Пусть линейный оператор действует в n-мерном действительном линейном пространстве L и пусть , , некоторый базис, наконец – матрица оператора A в этом базисе. Линейный оператор является вырожденным тогда и только тогда, когда будет вырождена его матрица , то есть . Отсюда заключаем, что кратность l совпадает с дефектом линейного оператора .

Заметим, что, если B любой обратимый оператор, то можно показать [11], что

,

то есть тогда и только тогда, когда , где . Это означает, что все спектральные понятия (спектр, собственные значения, кратность, размерность и т.д.) инвариантны относительно замены A на подобный оператор . Учитывая что, по определению, определитель – это многочлен своих элементов, получаем

,

где коэффициенты являются функциями элементов определителя (или матрицы) и не зависят от l. Максимальная степень l входит лишь в один член определителя, составленного из произведения его элементов, стоящих на главной диагонали, поэтому . Таким образом, получаем многочлен

Раскрывая определитель, имеем

,

который называется характеристическим многочленом оператора A в вещественном линейном пространстве L.

Для того, чтобы число было собственным значением оператора A необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло уравнению , то есть, было бы корнем характеристического многочлена.

Пример VI.6. Является ли совпадение характеристических многочленов признаком равенства операторов?

Решение. Нет, не является, поскольку характеристический многочлен один и тот же для семейства подобных матриц. В самом деле, линейные операторы совпадают, если совпадают их матрицы. Рассмотрим два базиса и . Пусть оператор A, имеет в базисе матрицу , а в базисе – . Тогда эти матрицы подобны, то есть , где Q – некоторая невырожденная матрица. Для любого , учитывая, что , имеем

.

Переходя к определителям матриц, получаем характеристический многочлен. То есть линейный оператор определяется характеристическим многочленом с точностью до подобия матриц.

Благодаря определителям задача нахождения собственных значений свелась к задаче алгебраической. В области действительных чисел не всякий многочлен степени имеет хотя бы один действительный корень. В то же время в области комплексных чисел, как следует из основной теоремы алгебры, любой многочлен имеет хотя бы один комплексный корень и, тем самым, n корней, пусть даже кратных. Этим объясняется большое значение комплексных линейных пространств.

Задача. Показать, что множество многочленов образует коммутативное кольцо (достаточно выполнения аксиом кольца).