Кольца многочленов.
В предыдущей главе мы подробно рассмотрели кольца Zm и поля Z*p , элементами которых являлись целые числа. Выяснили, что Zp* является циклической группой относительно умножения, а также заметили, что любое конечное поле размерности p изоморфно Z*p для подходящего p.
Рассмотрим произвольный многочлен степени k с коэффициентами из Zm:
f(x) = akxk + … + a1x + a0.
Степень многочлена будем обозначать как deg f(x).
В силу того, что Zm – коммутативное кольцо, множество всех многочленов с коэффициентами из Zm также образуют коммутативное кольцо Zm[x] вместе с операциями сложения и умножения многочленов. Операция сложения многочленов f(x) = akxk + … + a1x + a0 и g(x)=bkxk + … + b1x+b0 задается как
f(x)+g(x) = (ak+bk mod m) xk + … + (a1+b1 mod m) x + (a0+b0 mod m),
умножение как
f(x)g(x) = (akbk mod m) x2k +(ak-1bk+akbk-1 mod m)x2k-1 … + (a1b0+a0b1 mod m) x + +(a0b0 mod m),
то есть как обычное сложение и умножение многочленов, но операции сложения и умножения коэффициентов производятся по модулю m.
Пример 1.
Рассмотрим Z2[x]. Это множество состоит из всех многочленов с коэффициентами из {0,1}. Возьмем два многочлена из Z2[x]:
f(x) = x4+x2+1,
g(x) = x4+x3+x+1.
Вычислим сумму и произведение этих многочленов.
f(x)+g(x) = (1+1 mod 2)x4 + (1+0 mod 2)x3 + (0+1 mod 2)x2 + (1+0mod 2)x + + (1+1 mod 2) = x3+x2+x.
f(x)g(x) = (x4+x2+1)(x4+x3+x+1) = x8 + x7 + (2 mod 2)x5 + (2 mod 2) x4 + x6 + (2 mod 2) x3 + x2 + x + 1 = x8 + x7 + x6 + x2 + x + 1.
Многочлен из Zm[x] называется неприводимым над Zm, если его нельзя представить в виде произведения каких-либо двух многочленов из Zm[x]. Понятие неприводимого многочлена в кольце многочленов эквивалентно понятию простого числа в кольце целых чисел.
Так же как и для кольца целых чисел, для колец полиномов справедлива
Теорема (о делении с остатком)
единственная пара многочленов
0 ≤ deg r(x) < deg g(x): f(x)=g(x)q(x)+r(x).
■
Пример 2.
Разделим многочлен f(x) =x7+x4+x2+1 на g(x) = x3+x+1 с остатком над Z2[x].
Деление будем производить «в столбик».
— x7+ x4+x2+1 │ x3+x+1
x7+ x5+x4 │x4+x2+1
_ x5 + x2+1
x5 +x3+x2
_ x3+ 1
x3+ x +1
x
Итак, f(x) = g(x)( x4+x2+1) +x.
В силу справедливости данной теоремы, над кольцом Zm[x] можно определить теорию делимости и теорию сравнений, как и над Z.
Если существует многочлен h(x): f(x)=h(x)g(x), то говорят, что g(x) делит f(x) и пишут g(x)\f(x).
Если g1(x) и g2(x) имеют одинаковые остатки при делении на f(x), то говорят, что g1(x) и g2(x) сравнимы по модулю f(x) и пишут g1(x)≡g2(x) (mod f(x)).
Свойства, справедливые для сравнений над кольцом целых чисел, справедливы и для сравнений над кольцами многочленов.
3.2. Кольцо многочленов Zp[x].
Рассмотрим более подробно кольцо многочленов Zp[x], где p – простое число.
Справедлива
Теорема (о единственности разложения).
, если g(x)≠0, существует единственное разложение g(x)=a·f1(x)∙f2(x)∙…∙fn(x), где, fi(x) – приведенные неприводимые (не обязательно различные) многочлены над Zp[x] .
■
При помощи алгоритма Евклида можно вычислить наибольший общий делитель двух многочленов. Справедлив и расширенный алгоритм Евклида для многочленов.
Пример.
Отыщем НОД(x5+x2+x+1, x3+x2+x+1) над Z2[x]. Воспользуемся алгоритмом Евклида:
x5+x2+x+1=(x2+x)( x3+x2+x+1)+(x2+1)
x3+x2+x+1=(x+1)(x2+1)+0.
Ответ: НОД(x5+x2+x+1, x3+x2+x+1)= x2+1.
Дата добавления: 2015-11-28; просмотров: 1727;