Делимость в кольцах.

Неформально говоря, в полугруппе можно только умножать (или прибавлять). В группе можно умножать и делить (или прибавлять и вычитать). В кольце можно прибавлять, вычитать и умножать. В поле можно прибавлять и вычитать, умножать и делить.

Когда в поле рациональных чисел мы говорим, что «делим число 2 на число 3», то это является вольным изложением более правильного выражения «умножаем число 2 на число обратное по умножению к числу 3». Почему нельзя делить на 0? Поскольку, 0a=0, то 0 не имеет обратного по умножению и поэтому делить не на что.

В то же время, в кольце целых чисел, хотя число 3 и не имеет обратного по умножению, число 3 делит число 6. И здесь понятие делимости имеет уже несколько иной смысл, чем в предыдущем абзаце.

Определение. Элемент а кольца К делит элемент b кольца K, если существует элемент c кольца K, такой что b=ac. Точнее делит слева, т.к. кольцо может быть некоммутативным. Если b=ca, то а делит элемент b справа.

Обратим внимание, что в этом определении наличие обратного элемента у элемента «а» не предполагается.

Поскольку 0a=0, то по этому определению получается, что 0 делит 0. Получается лингвистическое противоречие. Ноль делит ноль, но ноль на ноль не делится!

В дальнейшем мы будем иметь дело только с коммутативными кольцами, то правую и левую делимость мы различать не будем. Если элемент a делит элемент b, то это обозначается a/b.

Свойства делимости. Пусть К – кольцо, a,b,c – его элементы.

1. Если a/b, a/c, то a/(b+c), a/(b-c).

2. Если a/b, то для любого с из К a/(bc).

3. Если a/b, b/c, то a/c.

4. Если , то

Доказательство.

1. По определению делимости найдутся b₁, c₁ , принадлежащие К, такие, что b=ab₁, c=ac₁, поэтому , следовательно, элемент а делит элемент . Кроме определения делимости здесь использовалась дистрибутивность.

2. Так как b=ab₁, то bc=(ab₁)c=a(b₁c) в силу ассоциативности умножения.

3. Если b=ab₁, c=bc₁, то c=bc₁=(ab₁)с₁=a(b₁с₁) опять использовалась ассоциативность умножения.

4. Последнее свойство следует из свойств 1 и 2.

□

Третье свойство обычно называют транзитивностью. Кроме транзитивности среди свойств бинарных отношений, а делимость – это бинарное отношение, популярны рефлексивность и симметричность.

Чтобы выяснить, когда эти свойства имеют место, нам потребуется еще ряд определений.

Определение. Элемент a кольца К называется обратимым (или единицей), если существует элемент b, принадлежащий кольцу К, такой что, ab=1, где 1 – нейтральный элемент по умножению.

Теорема.

Множество К^* обратимых элементов кольца К является группой относительно операции умножения.

Доказательство очевидно. □

Определение. Элемент a≠0 кольца К называется делителем нуля, если существует элемент b≠0 кольца К, такой, что ab=0.

Упражнение.Проверить, что кольца вычетов по составному модулю и кольца матрицM_n(K), при n >1, имеют делители нуля.

Благодаря тому печальному для потребителей обстоятельству, что кольца матриц имеют делители нуля, многие математики имеют работу. Причина в том, что решение систем линейных уравнений над кольцами с делителями нуля очень хлопотное дело и каждое кольцо требует отдельного исследования.

Пример 1.

Рассмотрим кольцо Z₈ и два уравнения с коэффициентами в этом кольце: 4x=0 и x²+x+1=0. Как легко проверить первое уравнение имеет четыре решения – 0, 2, 4, 6, а второе ни одного. □

Определение. Элементы a и b кольца К называются ассоциированными, если a\b и b\a.

Исследуем подробнее ассоциированные элементы. Если a\b и b\a, то одновременно выполняются два равенства b=ab₁, a=ba₁. Следовательно, . Таким образом, b(1—a₁b₁) = 0, и a(1—b₁a₁)=0. Если кольцо К не имеет делителей нуля, то получается, что

a₁b₁=1. То есть ассоциированные элементы отличаются друг от друга на обратимый элемент. Например, в кольце целых чисел группа обратимых элементов состоит из двух элементов Z^*={1, -1}, поэтому ассоциированными элементами будут, например, 3 и -3, 5 и -5.

Фундаментальную роль в алгебре и теории чисел, а также в криптографии, играют простые элементы кольца. В случае кольца целых чисел – простые числа.

Определение. Элемент p кольца К без делителей нуля называется простым, если он делится только на обратимые элементы и на ассоциированные с ним.

Если ограничится только натуральными числами, то определение простого элемента будет звучать так: «простой элемент делится только на себя и на единицу», поскольку среди натуральных чисел обратимым элементом является только 1.

У колец без делителей нуля есть одного замечательное свойство.