VII. Билинейные и квадратичные формы

Билинейные формы

Пусть M и N линейные пространства и L их прямая сумма (напомним, что ) над одним и тем же скалярным полем (полем R) [11].

Определение. Действительная функция j, заданная на линейном пространстве L, называется билинейной формой (билинейным функционалом), если равенства

(VII.1)

тождественно выполняются для всех ее аргументов и скаляров.

Формула (VII.1) представляет множество функций двух аргументов, у которых фиксированное значение одного из аргументов линейно зависит от другого.

Линейность билинейной формы легко проверяется, поэтому множество билинейных форм образует линейное пространство; нулем будет форма , называемая нулевой формой.

Отметим два свойства билинейных форм:

1) если n-мерное линейное пространство – прямая сумма линейных пространств M и N с размерностями k и m, то для любого множества действительных чисел вида , , существует, и при том единственная, билинейная форма, такая, что ;

2) размерность r пространства всех билинейных форм равна произведению размерностей M и N, то есть .

Пример VII.1. В Евклидовом пространстве скалярное произведение является билинейной формой. ▼

Пусть L – n-мерное линейное пространство и с размерностью k и m, соответственно. Если , , где , – базисы линейных пространств m и N, соответственно, то из формулы (VII.1) и свойства 1 имеем

. (VII.2)

В дальнейшем нас будет интересовать билинейная форма, аргументы которой совпадают, то есть .

Квадратичные формы

Определение. Билинейная форма одного векторного аргумента x называется квадратичной.

Пусть L – n-мерное линейное вещественное пространство и – билинейная форма, тогда квадратичная форма , как следует из (VII.2), имеет вид

, (VII.3)

где коэффициенты при как-то выражены через , .

Если в (VII.3) привести подобные члены, то при получим коэффициент , а коэффициенты при обозначим через , тогда можно составить матрицу , которая называется матрицей квадратичной формы, а ее ранг r называется рангом квадратичной формы.

Матрица симметрическая. Ее характеристикой является совпадение со своей транспонированной матрицей.

Так как L вещественное, то в нем можно ввести скалярное произведение как сумму парных произведений координат. Тогда формулу (VII.3) можно упростить. В самом деле, составим матрицу и введем пространство , элементами которого являются вектор – столбцы, то есть . Учитывая введенное скалярное произведение, положим

. (VII.4)

В силу симметричности матрицы

.

Пример VII.2. Пусть , тогда в имеем , , . Учитывая (VII.4), получаем

.