Классификация поверхностей второго порядка

II. Рассмотрим в поверхность 2-го порядка, которая имеет размерность [9, 10].

Определение. Поверхностью 2-го порядка в декартовой системе координат пространства называется множество точек, удовлетворяющих уравнению вида

. (VIII.5)

Линейным преобразованием (матрицей линейного оператора) уравнение (VIII.5) приводится к одному из пяти линейно независимых уравнения канонического вида

1) ,

2) ,

3) , (VIII.6)

4) ,

5) ,

где коэффициенты во всех уравнениях не равны 0.

Как и ранее, выделим классы поверхностей:

· невырожденные и нераспадающиеся поверхности:

- эллипсоид (рис. VIII.5);

Рис. VIII.5

Если , то эллипсоид становится сферой
(рис. VIII.6);

Рис. VIII.6

- мнимый эллипсоид;

- однополостной гиперболоид (рис. VIII.7);

Рис. VIII.7

- двуполостной гиперболоид (рис. VIII.8);

Рис. VIII.8

, - эллиптический параболоид (рис. VIII.9);

Рис. VIII.9

, - гиперболический параболоид (рис. VIII.10);

Рис. VIII.10

· вырождающиеся нераспадающиеся поверхности:

- мнимый эллиптический цилиндр;

- эллиптический цилиндр (рис. VIII.11);

Рис. VIII.11

- гиперболический цилиндр (рис. VIII.12);

Рис. VIII.12

- параболический цилиндр (рис. VIII.13);

Рис. VIII.13

- коническая поверхность (рис. VIII.14);

Рис. VIII.14

- мнимая коническая поверхность;

· вырождающиеся распадающиеся поверхности:

- пара мнимых пересекающихся плоскостей;

- пара пересекающихся прямых;

- пара мнимых параллельных плоскостей;

- пара параллельных плоскостей;

- пара совпадающих плоскостей.

Пример VIII.4. Преобразовать к каноническому виду поверхность 2-го порядка

.

Решение. Прежде чем переходить к повороту осей координат , осуществим линейный перенос так, чтобы можно было применить методику квадратичных форм. Положим

, , ,

тогда поверхность запишется в виде

.

Рассмотрим квадратичную форму

.

Составим матрицу квадратичной формы

.

Найдем собственные числа и собственные векторы. Имеем характеристический многочлен:

,

корни которого , , .

Запишем канонический вид поверхности с точностью до коэффициентов (сначала запишем их положительные значения):

.

По классификации это однополостной гиперболоид. Явный вид линейного преобразования находим аналогично примерам предыдущего раздела:

,

где первое слагаемое определяет параллельный сдвиг, а второе поворот вокруг оси симметрии. Окончательно