Классификация линий второго порядка

I. Рассмотрим в гиперповерхность 2-го порядка, которая по определению имеет размерность , то есть является линией 2-го порядка.

Определение. Линией 2-го порядка в декартовой системе координат Oxy пространства называется множество точек, удовлетворяющих уравнению вида:

. (VIII.3)

Применяя линейный оператор (преобразование) к уравнению (VIII.3), приводим его к одному из трех линейно независимых уравнений канонического вида:

1) ,

2) , (VIII.4)

3) ,

где коэффициенты во всех уравнениях не равны нулю.

В зависимости от знака коэффициентов, выделим два класса линий [4]

· нераспадающиеся линии:

- эллипс;

- гипербола;

- парабола;

· распадающиеся линии:

- пара мнимых пересекающихся прямых;

- пара действительных пересекающихся прямых;

- пара действительных параллельных прямых;

- пара мнимых параллельных прямых;

- пара совпадающих действительных прямых.

Более подробно рассмотрим класс нераспадающихся линий.

Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой фиксированной точки , называемой ее центром.

Пусть точка произвольна и лежит на данной окружности, тогда расстояние СМ равно некоторому числу R, называемому радиусом этой окружности. В фиксированной системе координат уравнение определяет окружность с центром в точке и радиусом R.

Пример VIII.1. Найти центр и радиус окружности .

Решение. Выделим полный квадрат по каждой переменной,
тогда уравнение можно записать в виде:

, или . Значит, это окружность с центром в точке и радиусом .

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Выведем уравнение эллипса. Пусть и – фокусы (рис. VIII.1). Положим . Декартову систему координат зададим следующим образом: ось Ox направим по прямой , а начало поместим в середину отрезка . Тогда , .

Пусть – произвольная точка эллипса. Тогда , где величина a дана, причем . Имеем:

, .

И, следовательно, уравнение эллипса имеет вид:

Упростим последнее равенство: перенесем второе слагаемое последнего равенства в правую часть и возведем обе части
в квадрат, получим ,
выполним преобразования и приведем подобные: .

Рис. VIII.1

Разделим полученное равенство на четыре и возведем обе части еще раз в квадрат: , преобразуем , окончательно получим: , .

Так как , то обозначим и разделим обе части последнего равенства на эту величину: – каноническое уравнение эллипса с полуосями , и центром симметрии в точке . Число a в уравнении эллипса называется большой, а b – малой полуосью эллипса. Прямую, на которой расположены фокусы эллипса, называют фокальной осью.

Величина называется эксцентриситетом эллипса, а прямые называются директрисами эллипса.

Пример VIII.2. Доказать, что уравнение определяет эллипс.

Решение. Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты . Введем новые переменные , . Тогда или . Последнее уравнение определяет эллипс с центром в точке , причем , .

Гипербола

Гиперболойназывается геометрическое множество точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Выведем уравнение гиперболы. Положим . Систему координат (рис. VIII.2) выберем так же, как и в случае эллипса. Тогда , а . Если – произвольная точка гиперболы, то , a – постоянная, . Это уравнение соответствует определению гиперболы. Преобразуя его, как и в случае эллипса, и положив , получим каноническое уравнение гиперболы:

Гипербола – кривая, симметричная относительно осей и начала координат. Прямые являются асимптотами гиперболы, величина называется эксцентриситетом гиперболы, , а прямые – ее директрисами.

Рис. VIII.2

Парабола

Параболойназывается геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки F и данной прямой (рис. VIII.3). Точка F называется фокусом параболы, а данная прямая – директрисой параболы. Для получения уравнения параболы выберем систему координат следующим образом: ось Ox проведем через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат поместим в точку, равноудаленную от фокуса и директрисы. Обозначим расстояние между фокусом и директрисой через p. Величина p называется параметром параболы. В выбранной системе координат фокус F имеет координаты , а уравнение директрисы имеет вид или , по определению

Рис. VIII.3

Пусть – произвольная точка параболы. Соединим точку М с точкой F. Проведем отрезок MM' перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы . По формуле расстояния между двумя точками находим: , а . Следовательно, . После элементарных преобразований получим каноническое уравнение параболы:

Пример VIII.3. Классифицировать линию 2-го порядка .

Решение. Воспользуемся формулой . Выделим полный квадрат по каждой переменной, для этого сгруппируем отдельно слагаемые, содержащие переменную x и y: . Коэффициенты при переменных в старшей степени вынесем общими множителями . Полученные выражения в скобках дополним до полного квадрата, в первом случае прибавим и отнимем 25, во втором – 4: . После раскрытия скобок постоянные перенесем в правую часть равенства . Приведем подобные . Запишем уравнение линии 2-го порядка в общем виде. Разделим последнее равенство на 36, чтобы получить единицу в правой части