Ограничения многочленной интерполяции.
Многочленная интерполяционная функция очень чувствительна к выбору узлов интерполяции.
Рассмотрим интерполяционную формулу Лагранжа
,
где
.
Оценим норму функции , которую определим, как
.
С этой целью выполним очевидные преобразования:
.
Введем функцию Лебега:
.
Поскольку , получаем оценку:
.
Величина нормы функции зависит от распределения узлов интерполяции. Рассмотрим два случая.
Случай 1. Узлы интерполяции на отрезке распределены равномерно. В этом случае (доказательство опускаем). При увеличении n многочлен может полностью оказаться непригодным для аппроксимации , т. к. неограниченно возрастает.
Рассмотрим такой пример. Будем интерполировать функцию
полиномом n-го порядка, выбирая узлы интерполяции равномерно распределенными. Введем норму ошибки интерполяции:
и исследуем ее зависимость от порядка интерполирующего полинома. Для этого обратимся к численным результатам (см. табл.8.1).
Таблица 8.1
0.96 | 0.25 | 1.07 | |||
0.71 | 0.30 | 2.10 | |||
0.43 | 0.56 | 4.21 |
Видно, что с увеличением погрешность интерполяции уменьшается вплоть до . Дальнейшее увеличение порядка полинома приводит к возрастанию .
Случай 2. Узлы интерполяции являются нулями полинома Чебышева. Их нетрудно получить, если на отрезке построить полуокружность, разделить ее на равные части и спроектировать на отрезок середину каждой из них (рис. 8.1). В этом случае (доказательство опускаем). Обратимся к рассмотренному выше примеру (см. табл.8.2) Погрешность интерполяции теперь при возрастании порядка полинома монотонно падает.
Рис. 8.1. Расположение нулей полинома Чебышева
Таблица 8.2
0.93 | 0.39 | 0.12 | |||
0.75 | 0.27 | 0.08 | |||
0.56 | 0.18 | 0.06 |
Многочленная интерполяция в точках Чебышева позволяет увеличивать точность приближения функции посредством увеличения порядка полинома. Однако привлекать узлы Чебышева не всегда удается. (Например, в узле Чебышева функция имеет особенность.) Чтобы избежать зависимости точности аппроксимации от локальных свойств функции, переходят к кусочно-полиномиальной аппроксимации.
Дата добавления: 2015-11-24; просмотров: 1165;