Понятие конечных и разделенных разностей.

Пусть на равномерной сетке в узлах заданы значения функции , т. е.

.

Конечными разностями первого порядка называют величины

.

Разности конечных разностей первого порядка называют конечными разностями второго порядка:

.

Аналогично определяют конечные разности следующих порядков:

.

Схему вычисления конечных разностей удобно представить в виде следующего треугольника:

Если узлы интерполяции – произвольные точки, то вводится понятие разделенных разностей.

Разделенная разность первого порядка:

.

Разделенная разность второго порядка:

.

Разделенная разность k-го порядка:

Отметим два важных свойства разделенных разностей:

1. Разделенная разность является симметричной функцией своих аргументов, т. е. значение разделенной разности не зависит от порядка перечисления узлов интерполяции, а зависит только от их значений;

2. Разделенная разность вычисляется и тогда, когда две или более точки интерполяции одинаковы.

Разделенная разность первого порядка в случае, когда одинаковы две точки, имеет вид

.

Если точка среди узлов интерполяции встречается (m+1) раз, то разделенная разность m-го порядка на этих узлах

.

Приведем теперь схему вычисления разделенных разностей