Дискретный метод Ньютона.
Дискретный метод Ньютона базируется на аппроксимации матрицы Якоби на основе вычисленных значений функции в ряде вспомогательных точек. Построим его. Как и прежде, будем использовать векторную запись решаемой системы уравнений
.
Пусть известно k-е приближение к решению . Аппроксимируем функцию линейной функцией:
.
Для численного определения матрицы и вектора потребуем, чтобы значения функций и совпадали в (n+1) вспомогательных точках , т. е. чтобы выполнялось равенство
.
Вычитая из первого равенства все последующие, получим соотношения
или в матричной форме
,
где матрицы и имеют вид
Следовательно,
.
Условие позволяет найти вектор :
.
Перепишем функцию , подставив найденные соотношения для и :
Примем . Будем искать из уравнения
Получим итерационную формулу дискретного метода Ньютона:
.
Заменяя обращение матрицы решением линейной системы, придем к реализуемому на практике алгоритму дискретного метода Ньютона:
1. Вычисляется вектор , матрицы и .
2. Решается система линейных алгебраических уравнений
3. Вычисляется вектор поправки
.
4. Вычисляется (k+1)-е приближение
5. Пункты 1÷4 повторяются для k=0,1,2,… до получения решения с требуемой точностью.
Применение дискретного метода Ньютона предполагает хранение -матриц и . Однако на практике в качестве вектора выбирается вектор
,
где – диагональная матрица параметров дискретизации, – j-й столбец единичной матрицы. Элементы матрицы вычисляют по правилу , где – константа (например, 0.1).
Дата добавления: 2015-11-24; просмотров: 922;