III. Линейные пространства

Ранее отмечалось, что многие множества, существенно различаясь по природе своих элементов, имеют одинаковые свойства, то есть могут быть описаны, с точки зрения современной алгебры, единой системой аксиом. Наиболее востребован практикой оказался класс множеств, обладающих свойствами линейного пространства. Часто их называют векторными, поскольку векторные величины получили широкое распространение в различных научно-практических исследованиях и приложениях. Кроме того, векторные пространства геометрически наглядны, что делает линейные пространства понятными, расширяя тем самым область использования их в науке и практических исследованиях.

Во введении понятие числового поля определялось аксиоматически. Рассмотрены поля рациональных чисел Q, действительных чисел R и комплексных чисел C. В этом разделе введем аксиоматически линейные пространства.

Пусть дано любое числовое поле и все скаляры являются его элементами [11].

Определение. Линейным пространством над числовым полем, например R, называется множество L элементов, удовлетворяющее аксиомам:

A)Для любой пары , элементов из L всегда найдется элемент , называемый суммой элементов и , что выполняется

1) (коммутативность);

2) (ассоциативность);

3)существует нейтральный элемент , называемый начальным, такой, что ;

4)каждому элементу соответствует однозначно определенный элемент такой, что .

B)Для любой пары из a, b и , , найдется элемент , , называемый произведением a и или b и соответственно, такой, что

5) (ассоциативность умножения на скаляры);

6) .

7) – умножение на скаляры дис-трибутивно (сочетательно) относительно сложения;

8) – умножение на элементы дис-трибутивно относительно сложения скаляров.

Отношения между линейным пространством L и полем скаляров выражают словами: линейное пространство L над полем скаляров.

В дальнейшем под полем скаляров будем понимать основное поле R действительных чисел, а имея дело с линейными пространствами в обозначениях и геометрической интерпретации, будем использовать векторные обозначения, что и было сделано в аксиомах.

Вектор (лат. vector – скользящий) – в геометрическом пространстве определяется как отрезок прямой, имеющий направление; задается упорядоченно: начало вектора (точка A) и конец (точка B). Для обозначения такого вектора используются а) пара букв или , а также одна буква или a (полужирный шрифт), б) на рисунках как направленный отрезок прямой. Таким образом, векторные обозначения и геометрические векторы – суть обозначения элементов линейного пространства.

Рассматривают геометрические векторные пространства трех видов векторов: связанные, скользящие и свободные. В пространстве свободных векторов достаточно иметь одинаковые направления; скользящие векторы лежат на одной прямой; связанные векторы имеют общее начало. Длина для всех видов векторов определяется его модулем - . Из условия упорядоченности обозначений вектор противоположен вектору . Вектор, у которого начало совпадает с концом, например , называется нуль-вектором, , то есть обозначение совпадает с числом 0; ему приписывают любое направление. Вектор , длина которого , называется единичным, помимо этого свойства, он выполняет функции масштаба.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат в одной или в параллельных прямых, и компланарными, если лежат в одной или параллельных плоскостях.

Зададим вектор (свободный) аксиоматически. Определим векторное пространство как понятие, обобщающее понятие совокупности всех векторов обычного трехмерного пространства. Элементы числового поля будем называть по-прежнему скалярами.

Определение.Векторным пространством над скалярным полем P называется множество L векторов, в котором определена операция сложения векторов и операция умножения векторов на скаляры из основного поля P, задаваемых аксиомами:

A.Сложение. , , называемый суммой векторов и , что

1) ;

2) ;

3)существует нулевой вектор такой, что ;

4)для вектора найдется единственный противоположный вектор такой, что ;

B.Умножение. , Þ $ вектор , называемый произведением скаляра b и вектора , что

5) ;

6) ;

C.Умножение дистрибутивно относительно

7)сложения векторов, ;

8)сложения скаляров, .

Из аксиом вытекают важные свойства векторов L ( ):

1) ; то есть умножение нуль–вектора на скаляр дает число 0;

2) ; умножение числа 0 на вектор дает также число 0;

3) , то есть чтобы получить вектор, противоположный заданному, достаточно умножить его на -1.

Аксиомы 1) – 4) образуют абелеву группу, а аксиомы
5) – 8) отражают тот факт, что умножение элементов на скаляры является линейной функцией (оператором, преобразованием) элементов из L. Это подтверждает не только внешнее сходство аксиом поля и векторного пространства, но и их внутреннюю связь, другими словами, понятия линейное пространство и векторное пространство – изоморфны.

Пример III.1.Рассмотрим множество векторов на плоскости. Покажем, что оно образует линейное пространство L² над полем чисел R. Достаточно проверить выполнение аксиом 1) – 8). Проверку осуществим, используя геометрические образы. Исходя из определения свободных векторов , , совместим параллельным переносом конец вектора с началом вектора , а затем – начало вектора с концом вектора . Полученный вектор назовем суммой векторов и (рис. III.1), то есть .

Положим , тогда , аналогично , тогда (рис. III.1).

А. Сложение. Если векторы неколлинеарные, то по «правилу треугольников» сложения векторов, имеем

1) .

Рис. III.1

Для коллинеарных векторов это очевидно, так как DADB вырождается в отрезок прямой.

2) или .

Тот факт, что векторы параллелограмма попарно равны, не является принципиальным. Для общего случая, можно рассмотреть любой четырехугольник на плоскости.

3) Очевидно, если обозначить ;