Системы линейных алгебраических неравенств

Определение. Два алгебраических выражения, соединенные одним из знаков <, >, £, ³, образуют неравенства. Неравенства называется линейными, если переменные x, y входят в него в первых степенях, не перемножаясь между собой, то есть имеют вид:

, ;

, .

Решением линейного неравенства называется всякая пара значений переменных х, у, при которых оно выполнимо. Решить неравенство – значит найти множество всех его решений [2, 3].

Известно, что пара действительных чисел (x, y) однозначно определяет точку координатной плоскости, поэтому множество решений линейного неравенства можно изобразить графически на координатной плоскости. В зависимости от знака неравенства, графическим изображением решения линейного неравенства является одна из полуплоскостей, на которые разделяется плоскость соответствующей прямой.

Пусть задана система линейных неравенств:

тогда решением этой системы называется упорядоченная пара чисел, удовлетворяющая каждому из неравенств этой системы, поэтому множество решений системы есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. Если это пересечение пусто, то решения системы неравенств не существует.

Пример II.11. Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства .

Решение. Преобразуем данное неравенство к виду . Построим на координатной плоскости прямую (рис. II.1).

Рис. II.1

Так как ордината любой точки, лежащей выше прямой , больше, чем ордината точки, имеющей такую же абсциссу, но лежащей на прямой, то множество точек плоскости, расположенных выше этой прямой, и будет геометрическим изображением решений заданного неравенства.

Пример II.12. Изобразить множество решений системы неравенств на координатной плоскости и определить координаты «угловых» точек этого множества.

Решение. Построим на координатной плоскости прямые (1), (2), (3), (4), (5) (рис. II.2).

Рис. II.2

Все неравенства, входящие в систему, нестрогие, поэтому сами прямые будут входить в множество решений системы. Если неравенство имеет вид , то геометрическим изображением его решения является нижняя полуплоскость, если , то – верхняя полуплоскость.

Угловые точки полученного множества лежат на пересечении двух прямых, поэтому, чтобы найти их координаты, необходимо решить системы уравнений, их задающих.

А: Þ .

B: Þ .

C: Þ .

D: Þ .

E: Þ .