Вычисление определителей

Определитель 2-го порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей, то есть

.

Пример II.2.Вычислить определители:

1). ;

2).

;

3).

.

Определитель 3-го порядка вычисляется по формуле:

(II.1)

Для запоминания используется мнемоническое правило – правило треугольников. Оно состоит в изображении (явном или мысленном) элементов матрицы точками. Точки, соответствующие произведениям, которые входят в формулу определителя, соединяются отрезками.

Главной диагонали и двум треугольникам, основания которых параллельны главной диагонали, соответствуют произведения со знаком “+”, а побочной диагонали и треугольникам, основания которых ей параллельны, соответствуют произведения со знаком “-”.

Определение. Минором k-го порядка матрицы порядка n называется определитель, полученный из исходного вычеркиванием n-k строк и n-k столбцов. Определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении вычеркнутых n-k строк и столбцов, называется дополнительным минором к минору k-го порядка, .

Определение. Минором элемента матрицы порядка n называется определитель порядка n-1, полученный вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца из определителя D исходной матрицы. Элемент и его минор являются взаимнодополнительными минорами, .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента матрицы порядка n называется минор этого элемента взятый со знаком «+», если сумма i+j четная, и со знаком «-», если сумма i+j нечетная, то есть

, . (II.2)

Определитель n-го порядка можно вычислить разложением по i-ой строке (j-ому столбцу). Например, для определителя 3-го порядка получаются следующие равенства:

,

или

, .

Пример II.3.

1).Вычислим определитель по правилу треугольников:

.

2).Вычислим определитель разложением по третьему столбцу. Определим алгебраические дополнения элементов третьего столбца:

,

,

.

Далее, по формуле (II.2), имеем

.