Начисление процентов при дробном числе лет

Часто срок в годах для начисления процентов не является целым числом. В правилах коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода.

1. По ставке сложных процентов:

2. Смешанный метод: за целое число лет начисляются сложные проценты, за дробное – простые проценты.

,

где n=a+b

a – целое число лет;

b – дробная часть года.

Пример: Первоначальная сумма долга 500$. Определить наращенную сумму через 2,5 года, используя два метода начисления сложных процентов. Процентная ставка равна 10% годовых.

1.

2.

Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная ставки

Номинальная ставка. В современных условиях проценты капитализируются, как правило, не один, а несколько раз в году – по полугодиям, кварталам и т.д., некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневное начисление процентов.

Итак, пусть годовая ставка равна j, число периодов начисления в году – m. Каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют номинальной. Формулу наращения теперь можно представить следующим образом:

.

Пример: Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб., через 5 лет при росте по сложной процентной ставке 15,5% годовых? Проценты начисляются ежеквартально.

Введем теперь новое понятие – действительная, или эффективная ставка процента. Эта ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год. Иначе говоря, эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, то и m-разовое начисление процентов по ставке j/m.

Обозначим эффективную ставку через i. По определению множители наращения по двум ставкам должны быть равны друг другу:

отсюда:

.

Замена в договоре номинальной ставки j при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку i не изменяет финансовых обязательств сторон, т.е. обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.

Пример: Какова эффективная ставка, если номинальная – 25% годовых при ежемесячном начислении процентов?

.

Т.о, для сторон в сделке безразлично: применить ставку 25% (при ежемесячном начислении) или ставку 28,07% при начислении процентов раз в году.

При подготовке контрактов может возникнуть необходимость в определении j по заданным значениям i и m. Находим:

.