Алгоритм вычисления ранга матрицы методом окаймления миноров.

1. Найти ненулевой элемент матрицы (если такого нет, то ранг матрицы равен нулю).

2. Вычислить миноры второго порядка, которые окаймляют выбранный элемент.

3. Если среди вычисленных миноров второго порядка имеется отличный от нуля, необходимо рассмотреть все миноры третьего порядка, окаймляющие какой-нибудь минор второго порядка, не равный нулю. Продолжать так до тех пор, пока все миноры, окаймляющие ненулевой минор – го порядка не будут равны нулю. В этом случае ранг матрицы равен .

Пример 1.Найти ранг матрицы методом окаймления миноров .

Решение. Так как матрица содержит ненулевые элементы, то .

Матрица имеет миноры второго порядка отличные от нуля, например, . Следовательно, .

Вычислим миноры третьего порядка, окаймляющие минор :

;

;

Так как все миноры третьего порядка, окаймляющие минор , равны нулю, то минор , имеющий второй порядок, является базисным минором матрицы и

Теорема (об элементарных преобразованиях матрицы).Элементарные преобразования строк или столбцов матрицы не изменяют ее ранг.

Из теоремы 1 следует, что если матрицы и эквивалентны ( ~ ), то

Ранг матрицы так же не меняется при ее транспонировании.

Ступенчатой называется матрица размера , если она имеет вид:

, где отличны от нуля.

Любую ненулевую матрицу с помощью элементарных преобразований строк или столбцов можно привести к эквивалентной ей ступенчатой матрице .

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один ее элемент не равен нулю. Если все элементы строки равны нулю, то она называется нулевой.

Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк, то есть .