Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо

Под современной стоимостью потока платежей понимают сумму дисконтированных членов этого потока на некоторый предшествующий момент времени.

Годовая рента:

.

Множитель, на который умножается член ренты R, называется коэффициентом приведения ренты.

Пример: Годовая рента постумерандо характеризуется параметрами: R = 4 млн. руб., n = 5. При дисконтировании по сложной ставке процента, равной 18,5% годовых, получим:

млн. руб.

Таким образом, все будущие платежи оцениваются в настоящий момент в сумме 12,368 млн.руб. Иначе говоря, 12,368 млн. руб., размещенных под 18,5% годовых, обеспечивают ежегодную выплату 4 млн. руб. в течение 5 лет.

Годовая рента, начисление процентов m раз в году:

.

Рента p-срочная (m = 1):

.

Рента p-срочная (p = m). Число членов ренты здесь равно числу начислений процентов; величина члена ренты составляет R/m:

.

Рента p-срочная (p ≠ m).

.

Рента с непрерывным начислением процентов.Пусть, как и выше, ряд состоит из ежегодных платежей, равных R, однако проценты начисляются непрерывно, сила роста равна δ.

.

Если имеет место p-срочная рента с непрерывным начислением процентов, то:

.

Консолидация задолженности

В практике возникают случаи, когда необходимо заменить одно обязательство другим, с более отдаленным сроком платежа, досрочно погасить задолженность, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи) и т.п. В таких случаях речь идет о финансовой эквивалентности обязательств, которая предполагает неизменность финансовых отношений сторон до и после изменения контракта.

Эквивалентными считаются такие платежи, которые после приведения их к одному моменту времени оказываются равными.

Метод решения подобного рода задач заключается в разработке уравнения эквивалентности. Одним из распространенных случаев изменения условий сделки является консолидация (объединение) платежей.

Рассмотрим это на примере.

Пусть платежи FV₁, FV₂, …, FV_m со сроками n₁, n₂, …, n_m заменяются одним в сумме FV_o со сроком n_o. В этом случае возможны две постановки задачи:

1. Определение суммы консолидированного платежа FV_o при заданном сроке n_o;

2. Определение срока консолидированного платежа n_o при заданной сумме FV_o.

1. Определение суммы консолидированного платежа

При объединении обязательств можно применять простые и сложные процентные и учетные ставки. При этом все сроки приводится к одному n_o, с учетом, что часть из них больше (n_o<n_k), а часть меньше консолидированного срока (n_o>n_j). Формулы для определения суммы консолидированного платежа:

1.1 По простой процентной ставке:

,

где FV_j – размеры объединяемых платежей со сроками n_j<n_o;

t_j=n_o-n_j;

FV_k – размеры объединяемых платежей со сроками n_k>n_o;

t_j=n_k-n_o;

1.2 По сложной процентной ставке:

,

1.3 По простой учетной ставке:

,

Пример: Два платежа 1000 и 500 руб. со сроками уплаты 180 и 210 дней объединяются в один со сроком 200 дней. Ставка 20% годовых. Определить сумму консолидированного платежа, при использовании простой процентной ставки.

руб.

2. Определение срока консолидированного платежа

Если при объединении платежей задана величина консолидированного платежа FV_o, то для определения срока n_o уравнение эквивалентности удобно представить в виде равенства современных стоимостей соответствующих платежей. В расчетах также применяются простые и сложные ставки.

Формулы для определения срока консолидированного платежа:

2.1 По простой процентной ставке:

,

2.2 По сложной процентной ставке:

,

2.3 По простой учетной ставке:

,

Пример: Суммы в размере 800, 1000 и 200 руб. должны быть выплачены через 50, 70 и 120 дней соответственно. Определить срок консолидированного платежа в размере 600 руб. при использовании простой учетной ставки 10% годовых.

3,06 года

Эквивалентность ставок

Эквивалентные ставки – это ставки, в конкретных условиях сделки приводящие к одному и тому же результату.

Принцип эквивалентности ставок применяется при сравнении ставок, используемых в различных сделках и соглашениях, определении эффективности финансово-кредитной операции, безубыточной замене одного вида процентных ставок (или метода их начисления) другим.

Вывод формул эквивалентности ставок во всех случаях основывается на равенстве взятых попарно множителей наращения:

1) простая процентная и сложная процентная ставки:

,

,

,

где i – простая процентная ставка;

i_s – сложная процентная ставка;

n – срок .

2) простая процентная и простая учетная ставки:

,

,

,

где d – простая учетная ставка.

3) простая процентная и сложная учетная ставки:

,

,

,

где d_s – сложная учетная ставка.

4) сложная процентная и простая учетная ставки:

,

,

,

5) сложная процентная и сложная учетная ставки:

,

,

,

6) простая учетная и сложная учетная ставки:

,

.

Пример: За 2 года до даты погашения вексель учтен по простой учетной ставке 20% годовых. Определить доходность учетной операции в виде сложной учетной ставки.

или 22,5%.