Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо

Методом прямого счета можно найти наращенную сумму и современную стоимость любого потока платежей, в том числе и постоянной ренты. Однако удобнее, особенно в аналитических целях, воспользо­ваться более компактными формулами. Поскольку обобщаю­щие характеристики постоянных рент играют существенную роль в анализе финансовых операций, получим эти формулы для всех видов постоянных рент.

Годовая рента.Начнем с наиболее простого случая - годо­вой ренты постнумерандо. Пусть в течение п лет в банк в кон­це каждого года вносится по R рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i. Таким образом, име­ется рента, член которой равен R , а срок - п. Все члены рен­ты, кроме последнего, приносят проценты - на первый член проценты начисляются п - 1 год, на второй п - 2и т.д. На по­следний взнос проценты не начисляются (напомним, что рента постнумерандо). Наращенная к концу срока каждого взноса сумма составит:

.

Пример: Создается фонд посредством ежегодных взносов по 10 тыс. $ в течение шести лет. На собранные средства банк начисляет проценты по ставке 15% годовых. Определить размер фонда к концу шестого года.

.

Годовая рента, начисление процентов m раз в году. Пусть, как и выше, анализируется годовая рента постнумерандо. Однако проценты теперь начисляются m раз в году. Число членов ренты равно n.

где j – номинальная ставка процентов.

множители: и называются коэффициентами наращения ренты.

Пример: Предположим, что при условиях, изложенных в предыдущем примере, проценты капитализируются поквартально, тогда:

.

Как видим, переход от годового начисления процентов к квартальному несколько увеличил наращенную сумму.

Рассмотрим теперь методы расчета наращенной суммы для вариантов р-срочной ренты постнумерандо при условии, что m =1, m = p и m ≠ p.

Рента р-срочная (m = 1).Пусть рента выплачивается р раз в году равными суммами, процент начисляется раз в конце года. Если годовая сумма платежей равна R, то каждый раз выплачивается R/p. Общее число членов ренты равно np.

.

Пример: Вернемся к первому примеру. Допустим, платежи выплачиваются поквартально: R/p=2,5 тыс. $., общее число платежей равно 24. Наращенная сумма составит

$.

Рента р-срочная (m = р).На практике наиболее часто встречаются случаи, когда число выплат в году равно числу начислений процентов: m = p. В этом случае наращенная сумма ренты составит:

.

Пример: Продолжим наш сквозной пример. Пусть выплата членов ренты и начисление процентов производится поквартально. Тогда:

$.

Рента р-срочная(m ≠ p). Определим теперь наращенную сумму для наиболее общего случая – р-срочная рента с начислением процентов m раз в году. Общее количество членов ренты равно np, величина члена ренты R/p. наращенная сумма такой ренты составит:

.

Пример: Если в ренте, наращенная сумма которой определялась в предыдущем примере, начисление процентов производится ежемесячно, то

$.

Непрерывное начисление процентов. В целой области финансовых расчетов, главным образом это касается финансового анализа, целесообразно воспользоваться методом наращения ренты с помощью непрерывных процентов. При дискретном потоке платежей общая формула выглядит следующим образом:

,

d - где непрерывная сложная процентная ставка,

е – основание натуральных логарифмов.

Аналогично для р-срочной ренты находим

.

Пример: Используя данные вышеназванных примеров, наращенную сумму фонда определим с помощью непрерывных процентов.

.

При ежеквартальной выплате членов ренты получим

$.