Вращательное движение с постоянной угловой скоростью

Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью (рис.11), равномерно вращающийся вокруг оси с угловой скоростью . На элементарный объем жидкости с центром в точке А действует центробежная сила

где v – линейная скорость;

r – расстояние от оси вращения.

1

H 2

A

z

fцх

fцу fц

Рис.11

Плотность распределения этой силы составляет

а ее проекции на оси координат равны

Уравнение поверхностей равного давления получим интегрированием выражения (5)

Учитывая, что

,

запишем

, (11)

т.е. поверхности равного давления, включая свободную поверхность жидкости, представляют собой параболоиды вращения.

Для нахождения константы интегрирования применим уравнение (11) к точкам 1 и 2, лежащим на свободной поверхности жидкости и имеющим координаты

где Н – отметка уровня жидкости над дном неподвижного сосуда.

В приведенных выражениях учтено, что объем параболоида вращения равен половине объема цилиндра с такими же основанием и высотой. С учетом изложенного получим

.

Решение системы уравнений дает

; .

Уравнение свободной поверхности жидкости окончательно приобретает вид

.

Распределение давления в жидкости описывается соотношением, полу-чаемым интегрированием выражения (4)

.

Определяя константу интегрирования из условий

; ; ,

находим

.

Эпюры давления описываются уравнениями:

– на боковую стенку

;

– на дно сосуда

.

При наличии центробежных сил давление на боковую стенку также меняется по линейному закону, но возрастает на величину по сравнению с неподвижным сосудом.

Распределение давления на дно вращающегося сосуда вдоль радиуса носит параболический характер. На периферии давление совпадает с максимальным давлением на боковую стенку, а в центре ниже его на величину 2rgh.

Интересно отметить, что особенности равновесия жидкости во вращаю-щемся сосуде были использованы Р.Энджелом из американского университета в штате Аризона для изготовления зеркальных телескопов. До него в течение длительного времени шлифовалась плоская стеклянная заготовка до получения нужной формы. Основная идея Энджела – вращать с определенной скоростью печь, где отливается заготовка для зеркала, чтобы за счет действия центробежных сил стекло приобрело вогнутую поверхность. Таким образом был изготовлен телескоп диаметром 6,5 м.

Вопросы для проверки усвоения материала

1. Какие модели жидкости используют в гидростатике ?

2. Какие из поверхностных сил существенны в гидростатике?

3. Что называют гидростатическим давлением и какими свойствами оно обладает?

4. Какова связь между абсолютным, избыточным (манометрическим) и вакуумметрическим давлением?

5. Какая высота подъема воды в полностью откачанном пьезометре соот-ветствует абсолютному вакууму?

6. Почему гидростатическое давление в жидкости зависит от глубины погружения и в каком случае эта связь нарушается?

7. Какую форму имеет свободная поверхность жидкости, если на нее действует только сила тяжести ?

8. Какой физический смысл имеет основное уравнение гидростатики?

9. Чем отличается гидростатический напор от давления ?

10. Чему равно максимальное гидростатическое давление в мировом океане на глубине 12 км ?

11. В чем заключается принцип действия гидравлического пресса и как он устроен?

12. Что представляют собой пьезометрическая плоскость и пьезолиния в гидростатике?

13. Чему равны горизонтальная и вертикальная составляющие силы давления на плоскую поверхность?

14. Как влияют внешнее давление и угол наклона плоской поверхности к горизонту на эксцентриситет центра давления?

15. При каких условиях центр давления совпадает с центром тяжести плоской поверхности?

16. От чего зависит горизонтальная составляющая силы давления на цилиндрическую поверхность?

17. Как вычисляется вертикальная составляющая силы давления на цилин-дрическую поверхность?

18. Как найти положение центра давления жидкости на цилиндрическую поверхность ?

19. Каковы правила построения действительного и фиктивного тела давле-ния?

20. Оказывают ли влияние горизонтальные составляющие сил давления на погруженное в жидкость тело на величину подъемной силы?

21. От каких параметров зависит подъемная сила, действующая на погру-женное в жидкость тело ?

22. Каковы условия устойчивого, неустойчивого и безразличного равновесия погруженных в жидкость тел ?

23. В какую сторону смещен центр давления жидкости на дно сосуда, если он совершает прямолинейное равноускоренное движение по горизонтальной плоскости ?

24. В каких случаях гидростатическое давление жидкости на стенки этого сосуда совпадает с внешним давлением ?

25. Какую форму имеет свободная поверхность жидкости в равномерно вращающемся сосуде?

26. Какой вид имеют эпюры давления жидкости на дно и боковую поверх-ность вращающегося сосуда?