Интегрирование уравнений Эйлера. Уравнение Бернулли

Когда массовыми силами являются только силы тяжести, то

и уравнение (12) сводится к

.

Интегрирование дает

(13)

где z – отметка центра живого сечения струйки над плоскостью сравнения 0-0 (геометрическая высота);

р/rg – пьезометрическая высота, соответствующая гидродинамическому давлению в этой точке;

u²/2g – высота скоростного напора.

Уравнение (13) для элементарной струйки идеальной жидкости было получено Даниилом Бернулли в 1738 г. и носит его имя. Через год такой же результат опубликовал отец Бернулли. Вопрос о приоритете так и не был решен между ними.

Геометрический смысл уравнения Бернулли иллюстрируется рис.28. В отличие от гидростатики пьезометрическая линия Р-Р не является горизон-тальной прямой. Напорная линия Е-Е, получаемая суммированием перечис-ленных высот, параллельна плоскости сравнения.

Энергетическая форма уравнения Бернулли имеет вид

,

где gz – удельная потенциальная энергия положения;

p/r – удельная потенциальная энергия давления;

u²/2 – удельная кинетическая энергия струйки.

E E

u1/2g

P u2/2g

p1/ρg

P

p2/ρg

z1

z2

0 0

Рис.28

Таким образом, уравнение Бернулли является частным случаем закона сохранения энергии применительно к установившемуся движению элемен-тарной струйки идеальной жидкости. Оно распространяется и на поток идеальной жидкости в каналах конечных размеров, так как все элементарные струйки имеют одинаковую скорость и, следовательно, v=u

.