Поток вектора напряженности электрического поля

Рассмотрим два случая:

1. Электростатическое поле однородное, поверхность S плоская (рис.3.6).

Рис.3.6

Величина ФЕ, равная скалярному произведению векторов и , называется потоком вектора через площадку S: (3.23) где a - угол между векторами и .

Вектор равен т.е. модуль вектора равен величине площадки, а направление совпадает с направлением нормали к ней.

2. Поле неоднородное, поверхность S неплоская (рис.3.7).

Рис.3.7

Поверхность S делим на элементарные площадки, которые можно считать плоскими, а поле в их пределах однородным. Тогда Полный поток (3.24) Поток ФЕ – величина скалярная, в зависимости от угла a он может быть положительным или отрицательным.

Знак величины потока зависит от выбора направления нормали к поверхности, его выбор является условным. Для замкнутой поверхности условились считать положительной внешнюю нормаль к поверхности. Это значит, что Ф_Е<0 на тех участках замкнутой поверхности, в которые силовые линии входят, и Ф_Е>0 на тех участках, из которых силовые линии выходят (рис.3.8). Потоку Ф_Е можно дать геометрическую интерпретацию: поток вектора через некоторую поверхность S равен числу силовых линий, пронизывающих эту поверхность: Ф_Е=N.

Рис.3.8

ФЕ1>0, т.к. a1<p/2, cosa1>0. ФЕ2<0, т.к. a2>p/2, cosa1<0.

Поток вектора через замкнутую поверхность

Оказывается, поток Ф_Е через замкнутую поверхность связан с зарядом внутри этой поверхности. Найдем эту связь, рассматривая случай, когда заряды находятся вне замкнутой поверхности (рис.3.9).

Рис.3.9. Поток вектора через замкнутую поверхность

Каждая силовая линия пересекает поверхность дважды: один раз она входит в поверхность, второй – выходит из нее. Поэтому

(3.25)

где Ф_Е1 – поток, образуемый входящими линиями (Ф_Е1<0, т.к. a₁>90° и cosa₁<1);

Ф_Е2 – поток, образуемый выходящими линиями (Ф_Е2>0, т.к. a₁<90° и cosa₁>1).

Так как то Ф_Е = 0, т.е. вне замкнутой поверхности поток вектора равен нулю.

Теорема Гаусса

Рассмотрим поле единичного положительного заряда q (рис.3.10).

Рис.3.10

Окружим заряд сферической поверхностью радиуса r. Поток ФЕ через эту поверхность равен: (3.26) 1) Во всех точках поверхности (3.27) т.к. r = const для всех точек среды.

2) a = 0°, cosa = 1. Подставляя (3.27) в (3.26), получим:

(3.28)

Окружим заряд произвольной поверхностью: сколько силовых линий пронизывает сферическую поверхность, столько же их пронизывает произвольную поверхность, т.е. для произвольной поверхности

Если внутри поверхности находится несколько точечных зарядов, то и

(3.29)

(3.29) – теорема Гаусса: поток вектора через произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряд, равен величине этого заряда, деленной на электрическую постоянную e₀.

Теорема Гаусса позволяет рассчитывать и j электростатических полей и в этом смысле эквивалентна закону Кулона. Оба эти закона устанавливают связь зарядов как источников поля с самими характеристиками поля.