III.1.2. Потенциал электрического поля

При перемещении единичного заряда q на расстояние dl силами электрического поля совершается работа, определяемая следующим выражением :

(1.12)

На конечном пути L работа равна:

. (1.13)

Если электрическое поле создается системой неподвижных зарядов, то работа сил этого поля на пути между произвольными точками зависит только от положения этих точек и не зависит от формы пути. Поля, обладающие таким свойством, называют потенциальными. Очевидно, что при движении заряда по любому замкнутому контуру в таком поле:

. (1.14)

Из определения потенциального поля следует, что разность потенциалов между двумя точками электростатического поля dφ равна взятой с обратным знаком работе, совершаемой силой поля при перемещении единичного заряда из одной точки в другую:

. (1.15)

Для точек P и P₀ достаточно удаленных друг от друга:

, (1.16)

причем результат интегрирования не зависит от формы пути. Положение нулевой точки P₀ и соответствующего потенциала в ней определяют начало отсчета и в значительной мере произвольны. В частности, в технике часто за нулевой принимают потенциал Земли, в физике – потенциал бесконечно удаленной точки. На практике обычно имеют дело с разностью потенциалов.

Введение понятия потенциала позволяет перейти к рассмотрению общих соотношений, описывающих потенциальные поля, в том числе электрическое поле.

Из соотношения (1.15) следует, что напряженность поля по направлению l равна по величине и противоположна по направлению производной потенциала по направлению l вектора dl:

, (1.17)

т.е. слагающей градиента φ по направлению l:

; (1.18)

При этом, если совпадают проекции векторов Eи gradφ, то должны совпадать и сами векторы:

, (1.19)

т .е . напряженность электрического поля Eравна градиенту электрического потенциала φ , взятому с отрицательным знаком .

Если воспользоваться понятием дивергенции, или расхождения вектора Eкакскалярной величины, определенной в каждой точке поля и являющейся объемной производной этого поля:

, (1.20)

где ρ – объемная плотность заряда, создающего поле.

В декартовой системе координат выражение (1.20) имеет вид:

(1.21)

Это дифференциальное уравнение связывает дивергенцию вектора электрического поля (плотности источника поля ) в каждой точке поля с величиной объемной плотности заряда в той же точке и является одним из основных уравнений электростатики. Оно позволяет установить связь между плотностью заряда, создающего поле, и разностью потенциалов:

. (1.22)

Это уравнение носит название уравнения Лапласа и также является одним из фундаментальных уравнений электростатики. На участках поля, где объемные заряды отсутствуют, т .е . ρ =0, Δφ=0.

Уравнение Лапласа позволяет рассчитать распределение потенциала φ и напряженности поля (gradφ), если известно расположение зарядов – источников поля, и обычно используется в тех случаях, когда источниками поля являются металлические электроды, потенциалы которых заданы.

В простейших случаях потенциал электрического поля может быть вычислен и непосредственно при определении работы, которую совершает пробный заряд, перемещающийся в поле. Так, можно показать, что для точечного заряда q, поле которого выражается формулой (1.4), его потенциал описывается выражением:

,(1.24)

причем значение потенциала при равно нулю.

Эквипотенциальные поверхности в таком поле образуют концентрические сферы, потенциал которых описывается выражением (1.24). Отсюда можно сделать вывод, что сфера, имеющая заряд q и радиус a, будет иметь потенциал, значение которого можно вычислить по выражению (1.24) при R=a. При R>a поле, создаваемое такой сферой, не будет отличаться от поля, создаваемого точеным зарядом, находящемся в его центре . Если сферу заменить сплошным металлическим шаром того же радиуса a, товнешнее поле не изменится, потенциал поверхности шара и всего внутреннего объема будет равен φ, а заряд q равномерно распределяется по поверхности шара.