Применение теоремы Гаусса

1. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Величину заряда, приходящуюся на единицу поверхности, называют поверхностной плотностью s:

(3.30)

Рис.3.11

Пусть плоскость заряжена положительно с поверхностной плотностью заряда +s=const. Из соображений симметрии силовые линии имеют вид прямых, перпендикулярных плоскости и выходящих из положительных зарядов (рис.3.11).

Найдем напряженность в точке A (рис.3.12).

Рис.3.12

В соответствии с законом Кулона для нахождения величины в т. A нужно плоскость разделить на точечные заряды и потом суммировать величины , созданные каждым из этих зарядов. Эта процедура довольно сложная. Теорема Гаусса позволяет решить задачу по отысканию очень просто. Через т. A нужно провести замкнутую поверхность и найти поток через нее.

Поверхность обычно берут такой, чтобы максимально просто можно было бы вычислить ее площадь. В случае заряженной плоскости этой поверхностью является цилиндрическая, у которой образующая перпендикулярна плоскости. Поскольку линии перпендикулярны заряженной плоскости и угол aмежду вектором и нормалью к основаниям цилиндра равен нулю, следовательно, cosa=1. Для боковой же поверхности . Угол a’=90°, следовательно, cosa=0 и .

Итак, общий поток вектора через замкнутую цилиндрическую поверхность равен сумме потоков через два основания и и потоку через боковую поверхность :

(3.31) где - берем элементарные площадки одинаковой величины.

Суммарный заряд внутри цилиндра . Тогда по теореме Гаусса запишем:

и получаем:

(3.32)

Найдем разность потенциалов поля между точками 1 и 2 на расстоянии x₁ и x₂ от плоскости:

откуда получим:

(3.33)

2. Поле бесконечной нити, заряженной с линейной плотностью l

Линейная плотность заряда – заряд, приходящийся на единицу длины:

(3.34)

Рис.3.13

Для нахождения в т. Aудобно выбрать замкнутую поверхность в виде цилиндра (рис.3.13). Линии перпендикулярны нити, следовательно, поток вектора будет только через боковую поверхность цилиндра. Тогда Следовательно, . (3.35)

Разность потенциалов между точками 1 и 2 поля, лежащими на расстоянии r₁ и r₂ от оси цилиндра:

(3.36)

3. Поле заряженной сферической поверхности

Рис.3.14

Проводим вокруг полой металлической сферы сферическую поверхность радиусом rA (рис.3.14). Поток вектора через эту поверхность Тогда или (3.37)

Из (3.37) видно, что выражение для получилось таким же, как и для точечного заряда.

Внутри сферы, например в т.B, величина =0, т.к заряд внутри сферы, проведенной через т. B, равен нулю. Величина и .

Разность потенциалов

(3.38)

Шар, представляющий собой диэлектрик, может быть внутри равномерно заряжен с объемной плотностью . Поток вектора через поверхность радиусом r<R (R – радиус шара) равен . Заряд внутри сферы радиусом r равен: .

По теореме Гаусса

и (3.39)

За пределами равномерно заряженного шара выражение для E_A будет таким же, как и полученное нами для полой сферы , только величина q будет равняться rV:

(3.40)

Разность потенциалов для точек, лежащих на расстоянии r>R от центра шара:

(3.41)

и для точек, лежащих на расстоянии r<R от центра шара:

(3.42)