Подставляя третье уравнение (4.3.1) во второе получим для напряжения
, последующая подстановка в первое дает или после перегруппировки: (4.3.2)
Полученная система уравнений движения линейно-упругой среды в перемещениях носит имя Ламе. Уравнения Ламе можно записать и векторной форме (4.3.3)
Используя операторное тождество , уравнение Ламе можно представить также в виде:
(4.3.4)
Упражнение. Выражая перемещения и деформации в системе (4.3.1) через напряжения получить основные уравнения для напряжений (уравнения Бельтрами-Митчелла).
Волны в неограниченной изотропной, линейно-упругой среде.
«Неограниченная» означает, что размеры среды велики по сравнению с размерами волнового пучка, и краевыми эффектами можно пренебречь. Будем искать решение уравнения (4.3.3) в отсутствии массовых сил в виде (4.4.1)
Где постоянный единичный вектор поляризации волны, произвольная дважды дифференцируемая функция, постоянный единичный вектор. Поскольку уравнение представляет плоскость, движущуюся по нормали со скоростью , такое решение называется плоской волной. С учетом того, что , , подстановка (4.4.1) в (4.3.2) дает
. (4.4.2)
После простых преобразований приходим к уравнению , которое после переноса всех членов в одну сторону дает Полученная однородная система уравнений имеет отличное от нуля решение только в том случае, когда ее определитель равен нулю, т.е.
. (4.4.3)
Дата добавления: 2015-12-29; просмотров: 873;