Амплитудное значение напряжения на ёмкости

u_Cm = I_m× x_C = 10×39,81 = 398,1 B.

Действующие значения

I = = = 7,07 A, u_C = = = 281,5 B.

Действующие значения напряжений на активных сопротивлениях

u_r₁= I× r₁ = 7,07×10 = 70,7 B, u_r₂= I× r₂ = 7,07×20 = 141,4 B.

II-й закон Кирхгофа в векторной форме при одном токе I имеет вид u_r₁+u_r₂+u_C = u, в соответствии с которым построена векторная диаграмма цепи (рис. 3.4,б).

Из прямоугольного треугольника напряжений (наружный треугольник)

u = = = 352 B,

j = arctg = arctg = -53°.

Мгновенное значение напряжения сети

u(t)= U_m×sin(ωt+ψ_i+j) = u× ×sin(ωt+15°+(-53°)) = 352 ×sin(ωt – 38°) B.

Напряжение на конденсаторе по фазе отстаёт от тока на 90°, его мгновенное значение u_C(t)= 398,1×sin(ωt – 75°) B.

Напряжение на участке r₂-C, приложенное к ваттметру и вольтметру, рассчитаем по треугольнику напряжений u₂-u_r₂-u_C:

u₂= u_W = = = 315 B.

Вольтметр схемы рис. 3.4,а измеряет действующее значение напряже-ния u₂= 315 B.

Показание ваттметра: P_W = u_W ×I_W ×cos .

В нашем примере I_W = I, поэтому

P_W = u₂×I×cosj₂= I×(u₂×cosj₂)= I×u_r₂= I×I×r₂ = I²×r₂ = P₂ – активная мощность, потребляемая сопротивлением r₂, и P₂ = 7,07²×20 = 1000 Bт.

ЗАДАЧА 3.4. Найти токи и напряжения в электрической цепи рис. 3.5,а, если: активное сопротивление катушки r_к = 4 Ом, индуктивное сопротивле-ние катушки х_к = 6 Ом, активное сопротивление реостата R = 2 Ом, ёмкост-ное сопротивление конденсатора х_С = 14 Ом, напряжение сети переменного тока U = 50 В.Построить векторную диаграмму цепи.

Решение

Ток цепи I, измеряемый амперметром А:

I = = = = 5 А.

Угол сдвига фаз цепи j_вх= arctg = arctg = -53,13° < 0.

Вольтметр V измеряет входное напряжение U = 50 В.

Напряжение на катушке измеряется вольтметром V₁:

U_к= = I×Z_к= I× = 5× = 36 В.

Напряжение на реостате: U_R = I×R = 5×2 = 10 В,

напряжение на конденсаторе U_C = I×х_С= 5×14 = 70 В.

Векторная диаграмма цепи построена на рис. 3.5,б.

Ваттметр измеряет активную мощность цепи

Р = U×I×cosj_вх = I ²×(r_к + R) = 5²×(4 + 2) = 150 Вт.

Обращаем внимание на то, что в последовательной цепи при наличии разнородных реактивных элементов (индуктивного и ёмкостного), напряже-ние на реактивном элементе может быть больше напряжения сети:

U_C =70 В > U = 50 В.

ЗАДАЧА 3.5. В условиях задачи 3.4 при неизменном напряжении сети и параметрах r_к, х_к, R в широких пределах изменяется сопротивление кон-денсатора х_С(0¸¥).

Построить резонансные кривые I(х_С), U_L(х_С), U_С(х_С).

Решение

Ток в последовательной цепи рис. 3.5,а:

I = = А,

напряжение на индуктивности U_L = I×х_L = I×6 В,

напряжение на ёмкости

U_С = I×х_С= = В.

Результаты расчёта резонансных кривых сведены в табл. 3.3.

Таблица 3.3

х_С, Ом										¥
I, А	5,89	6,93	7,9	8,33	7,9	6,93	5,89	3,28	2,02
U_L, В	35,4	41,6	47,4		47,4	41,6	35,4	19,7	12,1
U_С, В		13,9	31,6		63,2	69,3	70,7	65,6	60,6	U = 50

В табл. 3.3 выделена колонка, когда х_к=х_С=6 Ом и в цепи наступает резонанс напряжений U_L=U_С. При этом входное сопротивление цепи минимальное Z_вх_min = r_к+R = 6 Ом,

а ток максимальный I_max = = = 8,33 A.

Кривая напряжения U_L повторяет по форме кривую тока, так как х_к=const, и тогда U_L_max = I_max×х_к= 8,33×6 = 50 В.

Найдём максимальное значение U_С_max в зависимости от х_С, исследовав кривую U_С(х_С) на максимум.

Координата х_С при U_С= U_С_max определится уравнением

= 0 или – = 0,

(r_к+R)² + х_к² – 2 х_к х_С+ х_C² + х_к х_С– х_C²= 0,

откуда = = = 12 Ом.

Резонансные кривые приведены на рис. 3.6.

ЗАДАЧА 3.6. Определить показания приборов в схеме рис. 3.7,а, мгновенное значение тока i₁в неразветвлённой части схемы, построить векторную диаграмму, если:

u(t)= 200×sin(ωt+25°) В, r = 50 Ом, х_С= 50 Ом.

Решение

Приборы реагируют на действующие значения величин.

Действующие значения токов параллельных ветвей

I₂= = = = 2 = 2,83 А,

I₃= = = 2 = 2,83 А.

Так как ток в активном сопротивлении i₃совпадает по фазе с напряжением, ток в ёмкости опережает по фазе напряжение на 90°, а в соответствии с І законом Кирхгофа i₁= i₂+ i₃, то треугольник токов на векторной диаграмме (рис. 3.7,б) прямоугольный, откуда

I₁= = = 4 А,

угол сдвига фаз между током i₁и напряжением u на входе схемы отрицательный и равен

j = -arctg = -arctg1= -45°.

Мгновенное значение тока

i₁(t) = I_1m×sin(ωt +y_u – j) = 4 ×sin(ωt + 70°) A.

Показания амперметров

A₁ ® I₁= 4 А, A₂ ® I₂= 2,83 А, A₃ ® I₃= 2,83 А.

Показание ваттметра

P_W= u_W×I_W×cos = u×I₁×cosj = ×4×cos45° =400 Вт.

Заметим, что по схеме рис. 3.7,а ваттметр измеряет активную мощность части цепи, находящейся справа от ваттметра. Но по закону Джоуля-Ленца в этой части расходуется мощность только в активном сопротивлении r, причём

Р₃= I₃²×r = ×50 = 400 Вт, что совпадает с показанием ваттметра.

ЗАДАЧА 3.7. Найти показания приборов в схеме рис. 3.8,а, построить векторную диаграмму, если u = 200 В, r₁= 30 Ом, х₁= 40 Ом, r₂= 50 Ом.

Проверить балансы активных и реактивных мощностей.

Решение

Токи параллельных ветвей рассчитаем по закону Ома и определим соответствующие показания амперметров:

I₂= = = =4 А, ® А₂,

I₁= = = = 4 А, ® А₁.

Ток i₂в активном сопротивлении совпадает по фазе с напряжением u, ток i₁отстаёт на угол j₁, так как в этой ветви имеется индуктивность, а сам угол j₁ определим из треугольника сопротивлений этой ветви

j ₁ = arctg = arctg = 53,13°.

При этом cosj ₁ = = = 0,6, sinj ₁ = = = 0,8.

Всё изложенное учтено при построении векторной диаграммы цепи (рис. 3.8,б).

В рассматриваемом примере получен косоугольный треугольник токов I₁, I₂, I. Задача расчёта косоугольного треугольника токов сводится к прямоугольному, если систему векторов токов спроецировать на два взаимно перпендикулярных направления: на направление вектора напряжения (проекции векторов токов называются активными составляющими) и направление, перпендикулярное вектору напряжения параллельного участка (проекции называются реактивными составляющими).

При этом I_2a= I₂= 4 A, I_2p= 0,

I_1a= I₁×cosj₁ = 4×0,6 = 2,4 A, I_1p= I₁×sinj₁ = 4×0,8 = 3,2 A.