Следовательно, мгновенное значение тока

i1(t) = 10 ×sin(wt – 90° + 45°) = 10 ×sin(wt – 45°) А,

действующее значение тока I1 = = 10 А.

Напряжение на параллельно включенных ветвях

ubd(t) = Ubdm×sin(wt +yu – j вх + j 23);

где Ubdm = I1m× = 10 × = 400 B;

j 23= arctg = arctg =45°,

или ubd(t) = 400×sin(wt – 90° + 45°+ 45°) = 400×sin(wt) B.

действующие значения напряжения эквивалентного участка и токов параллельных ветвей

Ubd = = = 282 B; I2 = = = 14,1 А;

I3 = = = 10 А.

Углы сдвига фаз напряжений и токов второй и третьей ветвей

j 2 = arctg = arctg = 90°, j 3 = arctg = arctg = -45°.

Мгновенные значения токов параллельных ветвей

i2(t) = I2 ×sin(wt+yubd – j 2) = 20×sin(wt – 90°) А;

i3(t) = I3 ×sin(wt+yubd – j 3) = 10 ×sin(wt + 45°) А;

где yubd = yu – j вх – j 23 = -90° + 45° + 45° = 0.

Проверим баланс активных мощностей: U×I1×cosj вх = I12×r1 + I32×r3.

×10×cos(-45°) = 102×10+102×20 или 3000 Вт = 3000 Вт.

Проверим баланс реактивных мощностей:

U×I1×sinj вх = I12×(-x4) + I22×x2 + I32×(-x3).

×10×sin(-45°)=102×(-50)+(10 )2×20+102×(-20) или -3000 вар = -3000 вар.

Вывод: балансы активных и реактивных мощностей сходятся, следовательно, задача решена верно и можно переходить к построению полной векторной диаграммы.

Рассчитаем неизвестные напряжения на элементах электрической цепи.

Uab = I1×r1= 10×10 = 100 В; Ubc = I3×r3= 10×20 = 200 В;

Uca = I3×x3= 10×20 = 200 В; Ude = I1×x4= 10×50 = 500 В.

Векторная диаграмма приведена на рис. 3.19. Её построение начинается с выбора масштабов напряжений и токов. Затем в произвольном направлении строится вектор напряжения на параллельно включенных ветвях Ubd, от которого под углами j 2, j 3, j 23 строятся векторы токов I2, I3 и I1, соответственно. При этом следует учесть, что I1 = I2 + I3.

Остальные векторы напряжений строятся в соответствии с уравнениями второго закона Кирхгофа и порядком расположения элементов эквивалентной схемы (см. рис. 3.18,б):

Uab + Ubd + Ude = U.

 

ЗАДАЧА 3.21. Рас-считать действующие значе-ния напряжений и токов в схеме рис. 3.20,а, проверить балансы активных и реак-тивных мощностей, постро-ить полную векторную диаг-рамму напряжений и токов, если: U = 300 B; r2 = 30 Ом, x2 =10 Ом; x3 = 33,33 Ом; x4 = 2 Ом;

x5 = 20 Ом; r6 = 10 Ом; x1 = 8 Ом; r1 = 4 Ом.

Решение

В рассматриваемой схеме два разветвления: на участке bc параллельно включены 2я и 3я ветви, которые могут быть заменены эквивалентной ветвью r23-x23 (рис. 3.20,б); на участке de параллельно включены 5я и 6я ветви, заменяемые последовательной эквивалентной цепью r56-x56. Замена осуществляется на основании соотношений между активными и реактивными проводимостями параллельных ветвей:

g2 = = = 0,03 ; b2 = = = 0,01 Cм (инд.);

g3 = 0; b3 = = = 0,03 Cм (инд.);

g23 = g2 + g3 = 0,03 + 0 = 0,03 ; b23 = b2 + b3 = 0,01 + 0,03 = 0,04 Cм (инд.);

r23 = = = 12 Ом;

x23 = = = 16 Ом (инд.).

g5 = 0; g6 = = = 0,1 ; b5 = = = 0,05 Cм (ёмк.); b6 = 0;

g56 = g5 + g6 = 0 + 0,1 = 0,1 ; b56 = b5 + b6 = 0,05 + 0 = 0,05 Cм (ёмк.);

r56 = = = 8 Ом; x56 = = = 4 Ом (ёмк.).

Входное сопротивление цепи по эквивалентной схеме (рис. 3.20,б)

Zвх =

= = 30 Ом;

cosj вх = = = 0,8;

sinj вх = = = 0,6.

Ток в общей части схемы I1 = I4 = = = 10 A,

напряжения на разветвлениях Ubc = I1× = 10 = 200 B,

Ude = I1× = 10 = 40 B,

токи в остальных ветвях

I2 = = = 2 A, I5 = = = 2 A,

I3 = = = 6 A, I6 = = = 4 A.

Проверим балансы мощностей. Баланс активных мощностей представляется для схемы рис. 3.20,а выражением

U×I1×cosj вх = I12×r1 + I22×r2 + I62×r6,

300×10×0,8 = 102×4+ ×30+ ×30

или 3000 Вт = 3000 Вт - выполняется.

Баланс реактивных мощностей цепи

U×I1×sinj вх = I12×x1 + I22×x2 + I32x3 – I42×x4 – I52×x5,

300×10×0,6 = 102×8 + ×10 + 62×33,33 – 102×2 – ×20

или 1800 вар = 800 + 400 + 1200 – 200 – 400 вар - выполняется.

Так как оба баланса мощностей выполняются, задача расчёта цепи решена верно, и можно переходить к построению векторной диаграммы.

Так как в схеме рис. 3.20,а имеется два разветвления, то сначала строится векторная диаграмма для последовательной эквивалентной схемы рис. 3.20,б и построение начинается с выбора произвольного направления вектора тока I1 последовательной цепи (горизонтально, вправо) (рис. 3.21).

Уравнение по второму закону Кирхгофа запишем в векторной форме с соблюдением принципа: падения напряжений на элементах схемы строго следуют в соответствии с расположением элементов, и каждому вектору напряжения присваиваются соответствующие индексы точек схемы:

+ ×r23+ ×x23+ + ×r56+ ×x56+ = = .

При этом = ×x1=10×8 = 80 B и этот вектор напряжения опережает ток на 90°;

I1×r23= 10×12 = 120 B, I1×x23= 10×16 = 160 B,

Ucd = I1×x4= 10×2 = 20 B, I1×r56= 10×8 = 80 B,

I1×x56= 10×4 = 40 B, I1×r1= Uef = 10×4 = 40 B.

На рис. 3.21 падения векторных напряжений ×r23, ×x23, ×r56, ×x56

построены пунктирно, так как эти напряжения отсутствуют в исходной схеме.

Далее переходим к построению векторов токов I2 и I3. Ток I3 перпендикулярен напряжению Ubc, а ток = - .

Параллельно вектору Ude откладывается ток I6, а ток = - стро-ится в соответствии с первым законом Кирхгофа.

 
 

Затем относительно тока I2 откладываются векторы падений напряжений = ×x2 и = ×r2.

Векторная диаграмма принимает окончательный вид рис. 3.21. На этой векторной диаграмме указан также вектор напряжения .

 

ЗАДАЧА 3.22. В схеме рис. 3.22 известно:

U = 200 B; r1 = 30 Ом; x1 = 50 Ом;

x2 = 10 Ом; r3 = 5 Ом; x3 = 15 Ом.

Определить показания приборов.

Решение

1. Заменяем параллельное соеди-нение ветвей 2 и 3 эквивалентным последовательным соединением сопротивлений r23 и x23:

g2 = 0; b2 = = = 0,1 ; Z3 = = = = 5 ;

g3 = = = 0,02 ; b3 = = = 0,06 ;

g23 = g2 + g3 = 0 + 0,02 = 0,02 ; b23 = b2b3 = 0,1 – 0,06 = 0,04 Cм;

Y23 = = = 0,02 ; Z23 = = = 10 ;

r23 = = = 10 Ом; x23 = = = 20 Ом.

2. Входное сопротивление цепи и её коэффициент мощности:

Z = = = 50 ;

cosj = = = 0,8.

Действующее значение тока в неразветвлённой части цепи (показание первого амперметра): I1 = = = 4 A.

Напряжение на зажимах параллельных ветвей:

U23 = Z23×I1= 10 ×4 = 40 B.

Показания второго и третьего амперметров:

I2 = = = 4 A; I3 = = = 4 A.

3. Ваттметр включен на измерение активной мощности цепи. Его показание:

P = U×I1×cosj = 200×4×0,8 = 640 Вт.

Активная мощность резисторов

PR = r1×I12 + r2×I22 = 30×42 + 5× = 640 Вт

равна активной мощности источника, то есть налицо выполнение баланса активных мощностей.

ЗАДАЧА 3.23. В схеме рис. 3.23,а известно: u(t) =100 ×sin(wt+30°) B;

r1 = 5 Ом; xC1 = 8 Ом; r2 = 3 Ом; xC2 = 10 Ом; xL = 4 Ом.

Определить токи, коэффициент мощности, построить полную векторную диаграмму цепи. Задачу решить методом пропорциональных величин. Дополнительно ответить на вопросы: при каком xC2 будет резонанс токов? При каком xC1 будет резонанс напряжений?

 
 

Решение

1. Построим качественно векторную диаграмму (ВД) (рис. 3.23,б). Построение следует начинать с самого дальнего от источника участка цепи (это – третья ветвь). Поскольку здесь имеется последовательное соединение сопротивлений, сначала строим вектор тока I3. Далее построение диаграммы ведётся от конца схемы к началу (источнику) с соблюдением законов Кирхгофа и правил построения ВД.

2. Расчёт выполняем в том же порядке, в каком строилась ВД.

Пусть I3 = 1 A, т.е. i3(t) = ×sin(wt) A. Тогда

Ur2 = r2×I3 = 3 B, UxL = xL×I3 = 4 B, I2 = = = 0,5 A.

Проекции векторов токов на оси х и у:

I3x = I3 = 1 A, I3y = 0; j 3 = arctg = arctg = 53,1°,

I2x = I2×cos(j 3 + 90°)= 0,5×(-0,8) = -0,4 A, I2y = I2×sin(j 3 + 90°)= 0,5×0,6 = 0,3 A.

Определяем первый ток по проекциям:

I1x = I2x + I3x = -0,4 + 1 = 0,6 A, I1y = I2y + I3y = 0,3 A,

I1 = = = 0,671 A.

Фаза первого тока yi1 = arctg = arctg = 26,6°.

Определяем расчётное значение входного напряжения по проекциям:

UxC1 = xC1×I1 = 8×0,671 = 5,36 B; Ur1 = r1×I1 = 5×0,671 = 3,35 B,

Ux = UxC1×cos( 90° – yi1) + Ur1×cos(yi1) + Ur2 =

= 5,36×cos(90° – 26,6°) + 3,35×cos(26,6°) + 3 =8,40 B,

Uy = UxC1×sin(yi1 – 90°) + Ur1×sin(yi1) + UxL =

= 5,36×sin(26,6° – 90°) + 3,35×sin(26,6°) + 4 =0,707 B,

Uрасч = = = 8,43 B,

yUрасч = arctg = arctg = 4,8°.

3. Коэффициенты пересчёта:

k = = = 11,86; Dy =yU yUрасч = 30° – 4,8° = 25,2°.

4. Получаем ответы i1(t) = 7,96 ×sin(wt + 51,8°) A;

i2(t) = 5,93 ×sin(wt + 168,4°) A;

i3(t) = 11,86 ×sin(wt + 25,2°) A.

5. Условие резонанса токов: b2= b3.

b2= ; b3= = См; хС2 = = = = 6,25 Ом.

6. Условие резонанса напряжений хС1= х23,

но Z23= = = 7,46 Ом,

х23 = Z23×sin(j 3 yi1) = 7,46×sin(53,1° –26,6°) = 3,33 Ом.

Таким образом, резонанс напряжений наблюдается при хС1= 3,33 Ом.

 








Дата добавления: 2016-01-18; просмотров: 1539;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.056 сек.