Активная, реактивная и полная проводимости эквивалентной ветви

ge := g2 + g3 + g4 be := b2 – b3 + b4 ye :=

Полное, активное и реактивное сопротивления эквивалентной ветви

Ze := ye^-1 re := ge×Ze² xe := be×Ze²

Полное входное сопротивление цепи Z :=

Ток в неразветвлённой части цепи I1 :=

Напряжение на параллельно включенных ветвях U12 := I1×Ze

Токи в параллельно включенных ветвях I2 := I3 := I4 :=

Ответы для токов в А I1 = 20 I2 = 20 I3 = 14.142 I4 = 6.325

Активная и реактивная мощности источника

Pi := U×I1× Qi := U×I1× Pi = 3.2´10³ Qi = -2.4´10³

Активная и реактивная мощности приёмников

Pp := I1²×r1+I2²×r2+I3²×r3+I4²×r4 Qp := -I1²×xC1+I2²×xL-I3²×xC2

Pp = 3.2´10³ Qp = -2.4´10³

Следовательно, балансы мощностей сходятся.

Комплексный (символический) метод

ЗАДАЧА 3.29. Решить задачу 3.2 комплексным методом.

Решение

Исходные данные представим комплексными числами:

комплексная амплитуда напряжения сети U_m = U_m×e^j^y^u= 200×e^–^j²⁰^° B;

комплексное сопротивление цепи r-L

Z = r + jwL = 35 + j2p×50×80×10^-3 = 35 + j25,12 = 43,1×e^j^35,67^° Ом.

По закону Ома рассчитаем комплексную амплитуду тока

I_m = = = 4,64×e^–^j^55,67^° А.

Мгновенное значение тока

i(t) = Im = Im =

= Im = 4,64×sin(wt – 55,67°) A.

Комплексная мощность на входе цепи

S = = = 464×e^j^35,67^°= 377 + j270,5 ВА = Р + jQ.

ЗАДАЧА 3.30. В схеме рис. 3.29 определить действую-щее и мгновенное значение напряжения на ёмкости, если

u = 380 B; r = 1 кОм; С = 2 мкФ.

Решение

Совместим вектор входного напряжения с вещественной осью. Тогда

U = U= 380 B.

Комплексное сопротивление цепи

Z = r – jх_С = r – j = 1000 – j = 1000 – j1592 = 1880×e^-^j^57,87^°Ом.

По закону Ома определяем комплекс тока в цепи

I = = = 0,202×e^j^57,87^° А.

Комплекс напряжения на ёмкости

U_С = I×(-jх_С) = 0,202×e^j^57,87^°×(-j1592) = 321,8×e^–j^32,13^°В.

Мгновенное значение напряжения на ёмкости

u_С(t) = Im = 455,1×sin(wt – 32,13°) В.

ЗАДАЧА3.31. В схеме рис. 3.30 определить показание амперметра, если u(t) = 300×sin(wt – 30°) В; r₁= 12 Ом; r₂= х_L₁= 16 Ом; х_L₂= 20 Ом; х_C₂= 32 Ом; r₃= х_L₃= 100 Ом; х_C₁= 12,5 Ом.

Решение

Определим комплексные сопротивления параллельных ветвей

Z₁ = r₁ + jх_L₁ = 12 + j16 Ом; Z₂ = r₂ + j(х_L₂– х_С₂) = 16 – j12 Ом;

Z₃ = r₃= 100 Ом; Z₄ = -jх_С₁ = -j12,5 Ом; Z₅ = jх_L₃ = j100 Ом.

Комплексная проводимость всей цепи

Y = + + + = + + + + =

= 0,08 + j0,06 = 0,1×e^j^36,⁹^°См.

Комплекс входного напряжения, соответствующий его синусоиде

U = ×e^–^j³⁰^°В.

По закону Ома определяем ток в неразветвлённой части цепи

I = Y×U = 0,1×e^j^36,9^°× ×e^–j³⁰^°=

= 21,21×e^j^6,9^°А.

Следовательно, амперметр будет показывать 21,21 А.

ЗАДАЧА3.32. В условиях задачи 3.25 определить показания приборов электродинамической системы, используя комплексный метод.

Решение

Направим по вещественной оси вектор входного напряжения, то есть примем U = U= 200 B.

Определим комплексные сопротивления ветвей

Z₁ = r₁ – jх₁ = 6 – j8 Ом; Z₂ = jх₂= j10 Ом; Z₃ = r₃ – jх₃ = 5 – j15 Ом.

Комплексное сопротивление всей цепи

Z = Z₁ + = 6 – j8 + = 16 + j12 Ом.

Ток источника I₁ = = = 8 – j6 = 10×e^–^j^36,9^° А.

Токи параллельных ветвей

I₂ = I₁× = 10×e^–j^36,9^°× = 10 – j20 = 22,36×e^–j^63,4^° А;

I₃ = I₁× = 10×e^–j^36,9^°× = -2 + j14 = 14,14×e^j^98,1^° А.

Напряжение на параллельных ветвях (измеряется вольтметром и подаётся на ваттметр)

U_W = I₂×Z₂= 22,36×e^–j^63,4^°·j10 = 223,6×e^j^26,6^°= 200 + j100 B.

Показание ваттметра

P_W = Re[U_W× ] = Re[223,6×e^j^26,6^°×10×e^j^36,9^°]= 1000 Bт.

Следовательно, показания приборов:

А₁ ® 10 А; А₂ ® 22,36 А; А₃ ® 14,14 А; V ® 223,6 B; W ® 1000 Bт.

ЗАДАЧА 3.33. В схеме рис. 3.31,a известно: Е₁ = Е₂ = 100 В, причём Е₂ опережает Е₁ на 90° по фазе; J = 5 A, причём ток этого источника находится в противофазе с Е₂; r = х_C = 10 Ом; х_L = 20 Ом.

Требуется определить токи во всех ветвях, показание ваттметра, составить баланс реактивных мощностей, построить топографическую диаграмму для контура 1-2-3-1.