Упругое и линейно упругое изотропное тело

Сплошная среда называется упругим телом, если тензор напряжений является функцией тензора деформаций:

.

Если зависимость линейна, т.е. , то тело называется линейно упругим.

Если тензор коэффициентов упругости является изотропнымM´=M, то сплошная среда называется изотропным линейно упругим телом или кратко телом Гука.

Так же, как для ньютоновской жидкости , тензор M может быть записан в виде

.

Подставив это выражение для в выражение для , получим уравнение состояния тела Гука или обобщенный закон Гука

.

Коэффициенты и называются коэффициентами Ляме или модулями упругости. Латинское слово modulus переводится как мера.

Аналогично теореме о главных осях тензоров напряжений и скоростей деформаций в ньютоновской жидкости можно доказать следующую теорему, при этом надо использовать обобщенный закон Гука.

Теорема. Для тела Гука главные оси тензоров напряжений и деформаций совпадают.

Уравнение импульсов для тела Гука, называемое уравнением Ляме, можно получить аналогично уравнениям Навье-Стокса. При этом предполагается, что деформации малые и тензор деформаций берется в виде

.

Тогда уравнение Ляме имеет вид

.

Рассмотрим три важных случая деформации твердого тела: растяжение стержня, всестороннее сжатие и сдвиг.

1. Растяжение стержня (Рис. 3.2.1) является примером одноосного напряженного состояния тела, описываемого тензором напряжений, имеющим в главных осях следующий вид

Рис. 3.2.1

Запишем выражения для диагональных компонент тензора напряжений в соответствии с обобщенным законом Гука

,

,

.

Последние два равенства запишем более подробно

,

.

Вычтем из первого уравнения второе, получим

,

где

– коэффициент Пуассона.

Подставим найденные значения в выражение для , получим

.

Таким образом, для растяжения стержня связь между продольным напряжением и деформацией (закон Гука) имеет вид

,

где коэффициент

называется модулем Юнга.

Поперечные и продольные деформации связаны соотношением

.