Упругое и линейно упругое изотропное тело

Сплошная среда называется упругим телом, если тензор напряжений является функцией тензора деформаций:

Если зависимость линейна, т.е. , то тело называется линейно упругим.

Если тензор коэффициентов упругости является изотропнымM´=M, то сплошная среда называется изотропным линейно упругим телом или кратко телом Гука.

Так же, как для ньютоновской жидкости , тензор M может быть записан в виде

Подставив это выражение для в выражение для , получим уравнение состояния тела Гука или обобщенный закон Гука

Коэффициенты и называются коэффициентами Ляме или модулями упругости. Латинское слово modulus переводится как мера.

Аналогично теореме о главных осях тензоров напряжений и скоростей деформаций в ньютоновской жидкости можно доказать следующую теорему, при этом надо использовать обобщенный закон Гука.

Теорема. Для тела Гука главные оси тензоров напряжений и деформаций совпадают.

Уравнение импульсов для тела Гука, называемое уравнением Ляме, можно получить аналогично уравнениям Навье-Стокса. При этом предполагается, что деформации малые и тензор деформаций берется в виде

Тогда уравнение Ляме имеет вид

Рассмотрим три важных случая деформации твердого тела: растяжение стержня, всестороннее сжатие и сдвиг.

1. Растяжение стержня (Рис. 3.2.1) является примером одноосного напряженного состояния тела, описываемого тензором напряжений, имеющим в главных осях следующий вид

Рис. 3.2.1