Всестороннее сжатие

Запишем выражение для давления при упругой деформации

.

Введем модуль объемной упругости

.

Тогда

.

Видим, что модуль объемной упругости характеризует сопротивление объемному сжатию.

Иногда используют обратную величину

– коэффициент сжимаемости.

Тогда

.

Сдвиг

Напряжение и деформация сдвига описываются недиагональными элементами тензоров деформаций и напряжений.

По закону Гука

, .

Это выражение напоминает закон течения ньютоновской жидкости, но вместо стоит .

Коэффициент называется модулем сдвига и обозначается

.

В теории упругости пользуются парами коэффициентов упругости: , или , или . Эти коэффициенты выражаются друг через друга следующим образом

, ,

, ,

, ,

, .

Все модули неотрицательные, поэтому .

Видно, что при , поэтому соответствует несжимаемому материалу.

Из закона Гука следует выражение для упругих деформаций через напряжения

.

Уравнения акустики

Уравнения акустики

Акустика изучает распространение звука или малых возмущений в сплошной среде. Уравнения акустики можно получить линеаризацией уравнений гидродинамики.

Как было показано выше, уравнения динамики идеальной жидкости имеют вид

Если считать течение баротропным, то есть

,

то система уравнений замкнута.

Пусть , и . Здесь индексом 0 отмечены значения давления, плотности и скорости, усредненные по большому промежутку времени, и постоянные или начальные значения; а штрихом – возмущения этих величин. Предположим, что возмущения малы по сравнению с . В рамках этого предположения получим уравнения для распространения малых возмущений, т.е. уравнения акустики. Будем сохранять лишь члены с возмущениями в первой степени. Тем самым линеаризуем уравнения гидродинамики. Разлагая в ряд Тейлора уравнение состояния , получим

,

или

.

По определению , где называется скоростью звука в среде. Тогда

.

Линеаризованное уравнение состояния называется акустическим уравнением состояния.

Предположим отсутствие поступательного движения, общего для всех точек сплошной среды, т.е. . Это предположение не ограничивает общности, так как можно перейти к системе координат, движущейся поступательно со скоростью , в которой жидкость будет покоиться.

Линеаризуем уравнение неразрывности

.

Линеаризуем уравнение импульсов

.

В отсутствие внешних массовых сил . Оставляя члены первого порядка, получим линеаризованное уравнение сохранения импульса

.

Выпишем замкнутую систему уравнений акустики - :