Алгоритм решения задачи линейного программирования графическим методом (число переменных ).

1. Строится многоугольная область допустимых решений на плоскости соответствующая ограничениям. Затем строится вектор-градиент

целевой функции z в любой точке область допустимых решений.

2. Прямая (линия уровня функции z), перпендикулярная вектору-градиенту, передвигается параллельно самой себе в направлении вектора-градиента в случае задачи на максимум (и в противоположном направлении - в случае задачи на минимум) до тех пор, пока она не покинет область допустимых решений. Предельная точка (или точки) области являются оптимальными точками.

3. Для нахождения координат оптимальной точки, надо решить систему уравнений, которая соответствует прямым, пересечение которых образует эту точку. Значение целевой функции в этой точке будет оптимальным, а сами координаты точки будут являться решением задачи ЛП.

Пример. Решить геометрически задачу:

Построим многоугольник всех допустимых решений OABCD и направляющий вектор целевой функции (Рис. 1). Направление вектора-градиента указывает направление возрастания целевой функции. Так как рассматриваемая задача на отыскание максимума, то прямую, перпендикулярную вектору перемещаем в направлении этого вектора параллельно самой себе до тех пор, пока эта прямая не покинет область допустимых решений. На границе области, в нашем случае в точке С, и будет решение задачи. Точка С находится на пересечении прямых и . Следовательно, ее координаты определяются решением системы этих уравнений уравнении:

откуда т.е. точка С имеет координаты (6, 4).

Максимум (максимальное значение целевой функции) равен: Ответ: при оптимальном решении т.е. максимальна прибыль может быть достигнута при производстве 6 единиц первой и 4 единиц второй продукции.