Графический метод решения задачи линейного программирования

Рассмотрим ЗЛП в стандартной форме для случая двух переменных :

(9)

(10)

Пусть система неравенств (10) совместна (имеет хотя бы одно решение). Любое неравенство этой системы геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой Условия не отрицательности определяют полуплоскости с соответственными граничными прямыми и .

Так как система совместна, то полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых являются решением данной системы. Совокупность всех этих точек называется многоугольником решений. Это может быть точка, отрезок, луч, прямая, замкнутый многоугольник, неограниченная многоугольная область.

Решение ЗЛП геометрически представляет собой поиск такой точки многоугольника решений, координаты которой доставляют целевой функции наибольшее (наименьшее) значение. Причем допустимым решением являются все точки многогранника.

Рассмотрим так называемую линию уровня целевой функции z, то есть линию, вдоль которой эта функция принимает одно и то же фиксированное значение : или